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2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . 1 2 ln(1 x ) (1) lim(cos x ) x 0 2 2 (2) 曲面 z x y 与平面 2x 4 y z 0 平行的切平面的方程是 . (3) 设 x 2 a cos nx ( x ) ，则 a = . n 2 n 0 2 1 1 1 1 (4) 从 R 的基 1 , 2 到基 1 , 2 的过渡矩阵为 . 0 1 1 2 6x,0 x y 1, (5) 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为 f (x , y) 则 P{ X Y 1} 0, 其他 ， . (6) 已知一批零件的长度 X (单位： cm cm)服从正态分布 N ( ,1) ，从中随机地抽取 16 个 零件，得到长度的平均值为 40 ( cm ) ，则 的置信度为 0.95 的置信区间是 . (注 ：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95.) 二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . (1) 设函数 f (x) 在 ( , ) 内连续，其导函数的图形如图所示， y 则 f (x) 有 ( ) (A) 一个极小值点和两个极大值点 . (B) 两个极小值点和一个极大值点 . (C)两个极小值点和两个极大值点 . x (D) 三个极小值点和一个极大值点 . lim a 0 lim b 1 lim c (2) 设 { a }, { b }, { c } 均为非负数列，且 n , n , n ,则必有 ( ) n n n n n n (A) a b 对任意 n成立 . (B) b c 对任意 n 成立 . n n n n (C) 极限 lim a c 不存在 . (D) 极限 lim b c 不存在 . n n n n n n f (x , y ) xy (3) 已知函数 f (x , y) 在点 (0,0) 的某个邻域内连续，且 lim 2 2 2 1，则 ( ) x 0 ,y 0 (x y ) (A) 点 (0,0) 不是 f (x, y) 的极值点 . (B) 点 (0,0) 是 f (x , y) 的极大值点 . (C) 点 (0,0) 是 f (x , y) 的极小值点 . (D) 根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f (x , y ) 的极值点 . (4) 设向量组 I： 1 , 2 , , r 可由向量组 II ： 1 , 2 , , s 线性表示，则 ( ) (A) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (B) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (C) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关 . (D) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关 . (5) 设有齐次线性方程组 Ax 0和 Bx 0 , 其中 A, B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题： ① 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解，则秩 ( A ) 秩 ( B ) ； ② 若秩 ( A ) 秩 ( B )，则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解； ③ 若 Ax 0 与 Bx 0 同解，则秩 ( A )= 秩( B ) ； ④ 若秩 ( A )= 秩( B ) ， 则 Ax 0 与 Bx 0 同解 . 以上命题中正确的是 ( ) (A) ① ② . (B) ① ③ . (C) ② ④ . (D) ③ ④ . 1 (6) 设随机变量 X ~ t (n)( n 1),Y 2 ，则 ( ) X 2 2 (A) Y ~ (n) . (