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最新第四章微分中值定理和导数的应用.pdf

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最新第四章微分中值定理和导数的应用.pdf

第 四 章 微分中值定理和导数的应用 一、考核要求 Ⅰ 知道罗尔定理成立的条件和结论,知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。 Ⅱ 能识别各种类型的未定式,并会用洛必达法则求它们的极限。 Ⅲ 会判别函数的单调性,会用单调性求函数的单调区间,并会利用函数的单调性证明简单的不等式。 Ⅳ 会求函数的极值。 Ⅴ 会求出数在闭区间上的最值,并会求简单应用问题的最值。 Ⅵ 会判断曲线的凹凸性,会求曲线的凹凸区间和拐点。 Ⅶ 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。 二、基本概念、主要定理和公式、典型例题 Ⅰ 微分中值定理 今后,如果函数 f(x) 在某一点 x 处的导数值 =0,就说这一点 是驻点,因此罗尔中值定理的结论也可以说 0 f(x) 在( a ,b)内至少有一个驻点。 从 y=f(x) 的几何图形(见下图)可以看出,若 y=f(x) 满足罗尔中值的条件,则它在( a,b)内至少有一点,其切 线是水平的,根据导数的几何意义知道,该点的斜率 =k=0 。 从函数 y= f(x) 的图形看(见下图), 连接 y= f(x) 在 [a , b] 上的图形的端点 A 与 B,则线段 AB 的斜率为: 将 AB 平行移动至某处,当 AB 的平行线与曲线 y=f(x) 相切时,若切点为 x=c ,则根据导数的几何意义知: 或写作 故从几何图形看,拉格朗日定理是成立的。 典型例题 例一:(单选)下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是( ) ① ,[-1 ,1] ; ② ,[-1 , 1] ; ③ ,[1 , 2] ; ④ ,[-1 , 1] 。 解:① 在 [-1 , 1] 上处处有意义,没有无意义的点,因为他没有分母,所以 在 b 区间 [-1 , 1] 上处处连续满足第一个条件。 又 f(-1)=1 ,f(1)=1 ,所以在端点上函数值相等,满足第三个条件 因此这函数在开间内不是处处可导,只少在 0 这一点不可导的,因此不满足第二个条件。 ② 在 x=o 处不可导,∴ 也不满足第二个条件。 ③ f(1)=1 , f(2)=4 ,∴ 在 [1 ,2] 上满足第三个条件。 ④ , 处处可导且 处处连续, f(-1)=1 , f(1)=1 。 ∴ 在 [-1 ,1] 上满足三个条件。 例二:证明方程 在( 0, 1)内至少有一个根。 证:用罗尔中值定理 解:由于 令 在 [0 ,1] 上满足罗尔定理的三个条件。 所以在 (0,1)内至少存在一个数 c (0 <c < 1) 使 。 ∴ x=c 是方程 的根。 即 x=c 是方程 的根。 例三:证明不等式: arctanb -arctana ≤b-a ,(a <b) 解: 令 f(x)= arctan x ∴ 处处存在。 ∴ f(x)= arctan x 处处可导,处处连续,所以 f(x)=arctanx 在 [a , b] 上满足拉格朗日定理的二个条件,因此 存在 a<c < b,使 。 即: ∴arctanb - arctana <b-a 在第三章我们曾知常数的导数为零,即 反过来会问:导数为零的函数是否一定是常数,下面我们证明 1 2 2 1 证:在( a,b )任取两数 x ,x ,假定 x >x ,证明这两个函数值相等的。由于函数在 a ,b 内处处可导,因此根 据拉格朗中值定理知道在区间内部处处连续。 因此函数在开区间 x ,x 内部只少存在一点 c 使 ,使在端点的函数值 f( x )-f(x )= (x -x ) 由于函数在 1 2 1 2 2 1 区间内部的导数值永远等于 0,所以 =0 ∴ f(x 2)-f(x 1)=0 ∴ f(x 2) =f(x 1) 证毕。 证:令F (x)=f(x)-g(x) ∴ 在( a,b)内 = - =0 ∴ 在( a,b)内F (x)=c , 即 在( a,b)内 f(x)-g(x)=c ∴ 在( a,b)内 f(x)=g(x)+c Ⅱ 洛必达法则 当 limf(x)=0 且 limg(x)=0 时,或 limf(x)= ∞ 且 limg(x)= ∞时,分式的极限 不能用除法公式计算,上面的分式的极限可能存在,也可能是∞,还可能没有极限,因此叫未定式,对于未定式 的极限有下面的计算方法,叫洛必达法则,我们不加证明地介绍给学员使用 在洛必达法则的条件和结论中,我们没有写明 x 的变化状态,意思是 x →a 或 x →∞ 这两情形洛必达法则都正确. 洛必达法则的优点在于,在大多情形下,极限 的计算较困难,而极限 的计算较易,便可将一个较 难的计算变为较易的极限计算. 洛必达法则在使用时可以简写为 即两个无限小相除或两个无究大相除都可用洛必达法则计算,需要法注意的前提是它们的导数必须存在且比值的 极限必需是常数或∞。 典型例题 洛必达法则可以多次使用,需要注意的是使用它的前提必须是未定式 或 在使用洛必达法则求极限时不要忘记四则运算法则和等价替换原则,综合使用时计算会显得简单。 例如在例二中,下面的计算因为 x →0 时, 1-cosx ~ ,进行等价替换会更简单。 解:∵ x →0 时, sin x ~x

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