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最新第二章考研数学导航考研内部资料,面授老师整理导数与微分(-03-27).pdf

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最新第二章考研数学导航考研内部资料,面授老师整理导数与微分(-03-27).pdf

第二章 导数与微分 题型讲解 一、 导数与微分定义 导数的原始定义 1. 设 f (x0 ) 存在,求下列各极限: (1) lim f ( x0 2 x ) f ( x0 3 x) ;答 : 5 f (x0 ) . x 0 x (2) lim f ( x0 h) f (x0 h) . 答 : 2 f ( x0 ) . h 0 h 2 3 x f (x ) 2 f (x ) 2. (112)已知 f (x) 在 x 0 处可导,且 f (0) 0, 则 lim 3 x 0 x (A) 2 f (0) ; (B) f (0) ; (C) f (0) ; (D) 0 . 答 : ( B) . 3. 设函数 f (x) 可导,则 lim f (4 x ) f (2) ( ) x 2 x 2 (A) f (x 2) ; (B) f (x 2) ; (C) f (2) ; (D) f (2) . 答 : (C ) . 2 4. 已知 f (1) 0, f (1) 2 ,求 lim f (sin x cos x ) . 答: 1. x 0 x tan x 5. 设函数 f (x ) 对任何 x, y 恒有 f (x y ) f (x) f ( y) ,且 f (0) a( 0) ,试确 定 f ( x) . 答: f (x ) ax . f ( x) 6. 设函数 f (x) 在点 x 1处连续,且 lim 2 ,求 f (1) . 答 : f (1) 2 . x 1 x 1 f (x) 7. 设函数 f (x) 在点 x 0 处存在二阶导数,且 lim A ,求 f (0 ) , f (0) , x 0 1 cosx f (0) . 答: f (0) f (0) 0, f (0) A . 8. 求下列函数在指定点处的导数: (1) 设 f (x) (x 1)( x 2)( x 100) ,求 f (1) ;答 : f (1) 99! . (2 ) 设 f (x) (x a) (x ) , (x ) 在 x a 处连续,求 f (a) ;答: ( a) . 1 x (3 ) 设 f (x) x ,求 f (0) . 答: 1. 1 x (4 ) (122)设函数 ( ) ( x 1)( 2 x 2)( nx ) f x e e e n ,其中 n 为正整数, 则 f (0) n 1 n (A) ( 1) (n 1)! . (B) ( 1) (n 1)! . (C) ( 1) n 1 ! n n . (D) ( 1) n!. 答: (A ) . 左导数、右导数与导数 1 cosx 2 x 0; x 1 9. 研究函数 f (x) , x 0; 在 x 0 处的连续性和可导性 . 2 1 1 x ,x 0. x e 1 1 答: 连续但不可导 , 因为 f (0) 0, f (0) . 12 10. (011) 设 f ( 0) 0 ,则 f (x ) 在点 x 0 可导的充要条件为 h (A) lim f (1 cosh) 存在; (B) lim f (1 e ) 存在; h 0 h 2 h 0 h (C) lim f ( h sinh) 存在; (D) lim f (2h) f (h) 存在 . h 0 h 2 h 0 h 答: ( B) . 11. (951) 设函数 f (x) 一阶连续可导, F (x) f (x)(1 | sin x |) ,则 f (0) 0 是 F (x) 在点 x 0 处可导的 ( ) (A) 充分但不必要条件; (B)必要但非充分条件; (C) 充分必要条件; (D)既非充分又非必要条件 . 答: ( A) . 12. 设函数 f (x) 在点 x a 可导,则函数 | f (x ) |在点 x a 不可导的充要条件为 (A) f ( a) 0 且 f (a) 0 ;(B) f (a ) 0 且 f (a ) 0 ; (C) f (a) 0且 f ( a) 0 ;(D) f ( a) 0且 f (a) 0 . 答: (B) . 13. 设函数 f (x) 在点 x 0 处连续,下列命题错误的是 f (x) f (x) f ( x ) (A)若 lim 存在,则 f (0) 0 ;(B)若 lim 存在,则 f (0) 0 ; x 0 x 0 x x f (x ) f (x ) f ( x) (C) 若 lim 存在,则 f (0) 存在; (D)若

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