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空间几何体的内切球与外接球问题.pdf

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空间几何体的内切球与外接球问题.pdf

空间几何体的内切球与外接球问题 1.[2016 全国卷Ⅱ· ] 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) 32 A .12 π B. π C .8 π D .4 π 3 [解析 ]A 因为正方体的体积为 8 ,所以正方体的体对角线长为 2 3,所以正方体的外接球 2 的半径为 3,所以球的表面积为 4 π·( 3) =12 π. 2.[2016 全国卷Ⅲ· ] 在封闭的直三棱柱 ABC - A 1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB ⊥BC , AB =6,BC=8 ,AA1 =3,则 V 的最大值是 ( ) 9 π 32 π A .4 π B. C .6 π D. 2 3 [解析 ]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为 r ,∵AB ⊥BC ,AB =6 ,BC =8,∴8 -r +6 1 1 -r =10,解得 r =2 ,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为 r , 1 1 2 3 3 3 4 3 9 则 2r =3 ,即 r = ,故 V 的最大值为 π× = π. 2 2 .∴球的最大半径为 2 2 3 2 2 3.[2016 郑州模拟· ] 在平行四边形 ABCD 中,∠ CBA =120°, AD =4 ,对角线 BD =2 3 , 将其沿对角线 BD 折起,使平面 ABD ⊥平面 BCD ,若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上, 则该球的体积为 ________ . 20 5 答案: π;解析:因为∠ CBA = 120°,所以∠ DAB =60 °,在三角形 ABD 中,由余弦 3 2 2 2 定理得 (2 3) =4 +AB -2 ×4 ·AB ·cos 60°,解得 AB =2,所以 AB ⊥BD .折起后平面 ABD ⊥ 平面 BCD ,即有 AB ⊥平面 BCD ,如图所示,可知 A ,B ,C ,D 可看作一个长方体中的四 2 2 个顶点, 长方体的体对角线 AC 就是四面体 ABCD 外接球的直径, 易知 AC = 2 +4 =2 5, 20 5 所以球的体积为 π. 3 4.[2016 山西右玉一中模拟· ] 球 O 的球面上有四点 S,A ,B ,C ,其中 O ,A ,B ,C 四点共 面,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAB ⊥平面 ABC ,则棱锥 S-ABC 的体积的最大 值为 ( ) 3 A. B. 3 C .2 3 D .4 3 选 A ;[解析 ] (1) 由于平面 SAB ⊥平面 ABC ,所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上, 根据球的对称性可知, 当 S 在“最高点”, 即 H 为 AB 的中点时, SH 最大, 此时棱锥 S-ABC 的体积最大. 2 2 3 2 3 因为△ ABC 是边长为 2 的正三角形,所以球的半径 r =OC = CH = × ×2= . 3 3 2 3 1 3 在 Rt△SHO 中, OH = OC = , 2 3 2 2 2 3 3 所以 SH= - = 1, 3 3 1 3 2 3 故所求体积的最大值为 × ×2 ×1= . 3 4 3 5.[2016 赣州模拟· ] 如图 7-38- 19 所示,设 A ,B ,C,D 为球 O 上四点, AB ,AC ,AD 两两 垂直,且 AB =AC = 3 ,若 AD =R(R 为球 O 的半径 ),则球 O 的表面积为 ( ) 图 7-38- 19 A . π B.2 π C .4 π D .8 π 选 D ;解析:因为 AB ,AC ,AD 两两垂直,所以以 AB ,AC ,AD 为棱构建一个长方体,如 图所示,则长方体的各顶点均在球面上, AB =AC = 3,所以 AE = 6,AD =R,DE =2R, 2 2 2 则有 R +6 =(2R) ,解得 R= 2,所以球的表面积 S=4 πR =8 π. 6.[2016 安徽皖南八校三联· ] 如图所示,已知三棱锥 A -BCD 的四个顶点 A ,B ,C,D 都在球 O 的表面上, AC ⊥平面 BCD ,BC⊥CD ,且 AC =

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