2016考研数学讲解之洛必达法则失效的情况及处理方法.pdf

洛必达法则失效的情况及处理方法 【本章定位】 5 此部分内容不需要特别掌握，关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒 6 3 展开式的重要性！ 3 2 m 。 1 o 3 c 2 1 . 洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条 1 n f x ( ) f x  Q ( ) lim lim Q i x a x a 件，也就是说洛必达法则 g (x ) g x ( ) 的三个条件： ip limf (x ) 0 limg (x ) 0 x a  x a  （1） （或 ）， （或 ）； h s f x ( ) g x ( ) x a （2 ） 和 在 点的某个去心邻域内可导； 3  2 f x( ) A 1 lim x a g( )x  （3 ） （或 ）。 . 其中第三个条件尤其重要。 ww 其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通 w 过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利 址 用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。 网  ( ) 1 x 供 f x lim s  din x x lim l inim s x x  x   x  0 ( ) 而对于极限问题 x 提来说，因为 g x 不存在（既不是某个常数，也不是无穷 情 大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因 倾 此而说本问题之极限不存在。 网 实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。 程 教 1 x 频 lim s 0 din x x x  x 【问题1】求极限 。 视 3 2 1 x n n x n ( 1 ) n 【解】对于任何足够大的正数 ，总存在正整数 ，使 ，也就是说总存在正整数 ，使 x n   r ，其中0 r  。 这样x 就等价于n ，所以 1 1 x 1 n r  x x x x d lim s 0 din lim  0 sin x  x nn r  1  n n r   x x  sx x d lim sin d in n 0  n  n r  1   r  n 2R 2 n x x t t s d lim lim d sin in    0 0  n n        n r  n r  ， 5 6 sin x  x n   t 3 这里前面一项注意到了函数 的周期为 ，而后面一项作了令 的换元处理。最后注意到积 3 R  0 R 2 2 分值 的有界性（ ）。 m 1 o 如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永 3 远也无法验证。 c 2 1 1. n 3 x 3 1 x x  Q e e  Q lim lim i x x  x x x  【问题2】求极限 （1） ；（2 ）e e  。 ip h  s 【分析与解】（1）这是型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证 3 到第两次后可以得到 2 1 lim 3 x 3 1 lim x 2 lim 3 x 3 1 . x  x x  3 3 2 x  x ( 1)x  w ， 可知洛必达法则失效，处理的方法是 w w 3 3 3 x 1 x 1 1 lim lim 3 lim 3 1址 1 3 3 x  x x 