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2016考研数学讲解之可导函数的间断点问题.pdf

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2016考研数学讲解之可导函数的间断点问题.pdf

5 6 3 3 2 m 1,首先要明确几个概念: 函数连续性,函数极限存在,函数间断点 1 o 以及导数的定义这4个知识点 3 c 2 (a),函数在某点连续性,函数极限存在: y f (x )在点x 的某一领域内有定义, 0 1 lim f (x ) f (x )那么就称f (x )在点x 连续。 1. 0 0 n x x0 Q Q i 由函数在 “x 的某一领域”内极限的定义可知,当| x x | d 时,有| f (x) f (x ) | d 0 0 p 0 我们就引入左右极限这个概念,lim f (x ) f (x 0 )说明左连续 lim f (x ) f (x0 )说明右连 i x x0 x x0 h 续 (1)如果lim f (x) lim f (x )从极限的角度看,可知此极限lim f (x )存在 x x0 x x0 s x x0 (2)如果lim f (x ) lim f (x ) f (x )从连续的角度看,可知此点连续 0 3 x x x x 0 0 2 (1), (2)是两个不同的概念(千万不要糊涂,我曾经就糊涂过的) 1 . w w w (b)函数间断点: 址 (1)在x x 没定义 0 网 供 (2)虽然在x x 有定义,但lim f (x )不存在 0 提 x x0 (3)虽然在x x 有定义,且lim f (x)存在,但lim f (x ) f (x ) 0 情 x x0 x x0 0 倾 则函数f (x )在点x 不连续,点x 称为函数f (x )间断点 网 0 0 如果点x 是函数f (x )间断点,但左右极限都存在,称点x 为函数f (x )第一类间断点 0 0 程 不是第一类间断点的都是第二类间断点。 教 在第一类间断点中,左右极限相等为可去间断点,不相等称跳跃间断点 频 无穷间断点和振荡间断点是第二类间断点 视 3 2 1 掌握了这4个知识点以后,我们就来证明导函数不可能含有第一类间断点 设f (x )在x x 右连续,又在(x ,x d )可导且 lim f (x) A, 则f (x ) A 0 0 0 0 x x 0 0 (这是09年数一的一道证明题,大家可以借鉴) 我在这里证明下 5 根据导数定义: 6 f (x) f (x ) 因为 lim 0 f (x )A,可以使用“罗比达” 3 f (x ) lim 0 x x0 lim f (x ) A 0 x x 0 x x 0 3 0 x x 0 0 2 这个例子说明,f (x )在边界点的右极限存在, m 1 o 则f (x )在边界点的右导数值 边界点的右极限 3 c 2 1 . 好了,证明这么多东西就是为证明导函数不可能含有第一类间断点服务的 1 n Q 设f (x )在(a,b)可导,x (a,b)是f (x )间断点,则x 是第二类间断点 0 0 Q i 假设x0 c, 把区间分成(a,c)和(c,b) p i 若 lim f (x) A , lim f (x ) A 存在,根据第一条证明我们可知 x c0 x c 0 h , ,因为 在 可导,所以 存在 f c A f c A f x a b f c ( 0) ( 0) ( ) ( , ) s ( ) f c f c f c f x f x f c ( 0) ( 0) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 3 x c 0 x c 0 2 表示 在 点连续,看知识点的 的蓝色 ( f (x) x c (a) 1(2)) 于是与已知 是 间断点矛盾,所以 与 至少有一个不存在 x a b f x f x f x 0 ( , ) ( ) . lim ( ) lim ( ) w x c 0 x c 0 w w 址 网 供 提 情 倾 网 程 教 频 视 3 2 1

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