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微观经济学考研题库-弹性理论确定性条件下的消费者行为理论(效用论)5计算题.doc

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微观经济学考研题库-弹性理论确定性条件下的消费者行为理论(效用论)5计算题.doc

4.假定消费者只进行两期选择。消费者的两期收入分别为;两期的消费分别是;利率为。消费者的效用函数为。两期结束后,消费者的收入与消费均为0。证明: (1)1期消费与2期收入同方向变化,与利率反方向变化。 (2)1期储蓄与2期收入反方向变化。 (3)2期消费与1期收入、2期收入以及利率都是同方向变化。 证明:消费者行为目标是效用最大化,即使得  利用拉格朗日乘数得  就上式分别对求偏导数并令偏导数值等于零,得到 这样就可以得出①②③ (1)令①式对求偏导数,得 所以1期消费与2期收入同方向变化。 令①式求偏导数,得 所以1期消费与利率反方向变化。 (2)令②式对求偏导数,得 所以1期储蓄与2期收入反方向变化。 (3)令③式对,,分别求导, 所以2期消费与1期收入,2期收入以及利率都是同方向变化。 2.某消费者的爱好是好葡萄酒,当其他商品价格固定不变时,他对高质量的红葡萄酒的需求函数为q=0.02M-2P。收入M=7500元,价格P=30元。现在价格上升到40元,问价格上涨的价格效应是多少瓶酒?(厦门大学2004研) 解:价格变动对需求产生的效用分为两种。替代效用是由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化;收入效用是由于有了更高的购买力而引起的需求变化。一般将价格变动分为两步:第一步,让相对价格发生变动,同时调整货币收入使购买力保持不变;第二步,对购买力进行调整,同时使相对价格保持不变。 当收入M=7500元,价格P=30元时, 价格上涨后,为计算替代效用,需补偿收入: 所以 所以价格上涨的替代效用为: 收入效用为: 3.老王每月收入120元,全部用来购买商品X和Y。他的效用函数为U=XY,X的价格是2元,Y的价格是3元。试求: (1)为使老王的效用最大化,他购买的X和Y各为多少? (2)他获得的总效用是多少?每单位货币的边际效用是多少? (3)假设X的价格提高0.44,Y的价格不变,为使老王获得的效用水平不变,他的收入应该增加多少?(上海交大2004研) 解:(1)为使老王的效用最大化, 构造拉格朗日函数: 得 (2)他获得的总效用: 每单位货币的边际效用为: (3)假设X的价格提高0.44,则 为使老王获得的效用水平不变, 构造拉格朗日函数: 得 所以需总收入 即需要增加收入:132.54-120=12.54 4.某人的效用函数为。已知两个商品的价格,收入。 (1)在此价格收入条件下,他的最优消费组合是什么? (2)用图表示(1)的最优消费组合,并在同一张图上画出当商品1的价格变动(收入和商品2的价格不变)时,最优消费决策点的轨迹。 (3)如果政府对第2种商品征单位产品消费税,从而使。这时他的最优消费组合是什么? (4)如果效用函数变为,且价格和收入保持不变,即,。此时消费者的最优消费决策是什么?(中山大学2003研) 解:(1)根据基数效用论,当消费者均衡时,有即 又根据预算约束线 即 联合解得 所以最优消费组合为(10,10) (2)作图如下X2AU1U3 U2B3 B2 B1O X1 (3)当时,根据消费者均衡条件,有=〉 又 解得 所以最优消费组合为(10,5) (4)当效用函数变为时, 当时,根据消费者均衡条件,有=〉 又根据预算约束线 解得 所以最优消费组合为(0.5,19.5)。 6.已知消费者效用函数为,消费者的货币收入为M,x和y的价格分别为Px和Py。(1)推导x的需求曲线方程和y的需求曲线方程; (2)计算x的需求价格弹性和y的需求价格弹性。(吉林大学2003研) 解:(1), 当消费者均衡时即 又消费者约束线为 解得: (2)x的需求价格弹性为 y的需求价格弹性为 7.设效用函数为,求和的需求函数。(北航2004研) 解:,由消费者均衡条件可知,,即,(为货币的边际效应)。 所以的需求弹性无穷大,其需求函数就为,表现为一条平行于需求量轴的直线;的需求函数为,是一条双曲线。 8.设某商品的反需求函数为,其中是需求量,为常数且,。 (1)用图形表示价格为时的消费者剩余。 (2)计算价格为时的消费者剩余。 (3)计算当价格由改变到时消费者剩余的改变量。(武大2001研) 解:(1)如图3.26所示 图3.26 消费者剩余 所以当价格为时,消费者剩余为三角形。 (2) 所以消费者剩余为 (3)当价格由改变到时消费者剩余的改变量为梯形 因为 所以消费者剩余改变量为:某消费者的偏好由以下效用函数描述:,其中1nx是x的自然对数。商品1和商品2的价格分别为P1和P2,消费者的收入为m。 8.已知老王每月收入120元,全部用来购买商品X和Y。他的效用函数为U=xy,X的价格是2元,Y的价格是3元。试求: (1)为使老王的效用最大化,他购买的X和Y各为多少? (2)他获得的总效用是多少?每单位货币的边际效用是多少? (3)假设X的价格提高0.44,Y的价格不变,为使老王获得的效用水平不变,他的收入应该增加多少?(上海大学2001研) 解:(1)效应最大化时,根据基数效用论即 又根据预算约束线 解得 (2)总效用为每一单位货币的边际效用为(3)当x的价格提高0.44时,根据效用最大化条件即 又总效用不变 所以 解得 所以其收入应该增加 9.经济体中有两种消费者A和B,已知两者的效用函数为:,而,已经知道A有3单位X和2单位Y,而B有1单位X和6单位Y,又知道经济体中有50个A消费者,和100个B消费者。他们能够通过市场交易来实现效用的最大化。那么请推导市场的均衡价格和两类消费者的消费量。(北大2004研) 解:对于消费者A来说, 用拉格朗日方法得:对于消费者B来说  用拉格朗日方法得:又交换前后X和Y的数量保持不变,所以从而 得,所以,,, 10.若某人的效用函数为=,其中常数,试证明在商品价格为常数时,该人的收入—消费曲线为一条过原点的直线。(人大1998研) 解:效用函数:设商品价格分别为,设收入为则有 构造拉格朗日函数一阶条件:解得: 因为和都是常数,所以可以令此时有 同理也有 所以该人的收入—消费曲线为一条过原点的直线。 11.某个消费者生活两个时期,他在第一期有1000元,第二期有500元,他在两个时期的消费额分别为c1和c2,他的效用函数是U(c1,c2)=c1c2 解:消费者的目标为: 使得 1000(1+r)+500=c1(1+r)+c2一阶条件=> 又 得 显然s‘(r)>0,故s(r)是r的增函数。 12.某消费者的效用函数有,他会把收入的多少用于商品Y上?(复旦大学2000研) 解:假设商品的价格为,商品的价格为,收入为M。 由 得:,。他对和的最佳购买的条件是, 即为: 变形得, 把代入预算方程这就是说,他收入中有用于购买商品Y。 13.已知效用函数为,预算约束为:,求;(1)消费者均衡条件;(2)与的需求函数;(3)与的需求的点价格弹性。(南开大学2000研) 解:(1) (2)

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