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专题截长补短.doc

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专题截长补短.doc

截长补短专题 适用范围:证明线段的和、差、倍、分时,考虑截长补短。 截长:在长线段上截取一段等于一短线段,再证剩下的一段等于另一短线段。补短:把两短线段补成一条,再证它与长线段相等。 已知:如图,在△ ABC中,∠ C= 2∠B,∠ 1=∠ 2. 求证: AB=AC+CD. 方法一(截长法) 在 AB上截取 AF=AC,在△ AFD与△ ACD中 , ∴△ AFD≌△ ACD( SAS) , ∴ DF=DC,∠ AFD=∠ ACD. A 又∵∠ ACB= 2∠B,∴∠ FDB=∠ B,∴ FD=FB. 1 2 ∵ AB=AF+FB=AC+FD,∴ AB=AC+CD. F 方法一(补短法) 延长 AC到 E,使 DC=CE,则∠ CDE=∠ CED, ∴∠ ACB= 2∠ E,∵∠ ACB= 2∠ B,∴∠ B=∠ E, A 在△ ABD与△ AED中, B ∴△ ABD≌△ AED( AAS) , ∴ AB=AE. 又 AE=AC+C=EAC+DC,∴ AB=AC+DC. D 1 2 C 如图, AD∥ BC,点 E 在线段 AB上,∠ ADE=∠CDE,∠ DCE=∠ ECB. 求证: CD=AD+BC. (截长法) B 在 CD上截取 CF=BC,在△ FCE与△ BCE中, ∴△ FCE≌△ BCE( SAS) , ∴∠ 2=∠ 1. 又∵ AD∥ BC,∴∠ ADC+∠BCD=180°,∴∠ DCE+∠ CDE=90°, ∴∠ 2+∠ 3=90°,∠ 1+∠4=90°,∴∠ 3=∠4. 在△ FDE与△ ADE中, ∴△ FDE≌△ ADE( ASA),∴ DF=DA, ∵ CD=DF+CF,∴ CD=AD+BC. 求证直角三角形斜边的中线等于斜边的一半  D C D E A 4 3 F E 2 1 在三角形 ABC中。 BD,CE分别是∠ ABC和∠ ACB的平分线。 BE+CD=BC求. 在 BC截取 BF=BE则 CF=CD 容易证明△ BOF≌△ BOE,边角边 △COF≌ COD,边角边 ∴∠ 5=∠ 6,∠ 7=∠ 8 ∵∠ 5=∠ 8 ∴∠ 5=∠ 6=∠ 7=60° ∴∠ BOC=120 ∴∠ B+∠ C=120 ∴∠ A=60 ∠ A 度数。 C B 正方形 ABCD中,点 E 在 CD上,点 F在 BC上,∠ EAF=45。求证: EF=DE+B。F 如图,已知△ ABC中, AB=AC,∠ A=100°, BD平分∠ ABC,求证: BC=BD+A.D

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