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线性代数第五章课后习题及解答.pdf

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线性代数第五章课后习题及解答.pdf

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量: 2 3 (1) ; 3 1 2 3 2 解: I A 3 7 0, 3 1 3 37 3 37 1 , 2 2 2 37 1 1 37 2 3 1 6 1 I A 1 37 , 3 2 0 0 T 所以, ( 1 I A)x 0 的基础解系为: (6,1 37) . T 因此, A 的属于 的所有特征向量为: k (6,1 37 ) (k 0). 1 1 1 1 37 1 37 2 3 1 6 2 I A , 1 37 3 2 0 0 T 所以, ( 2 I A )x 0 的基础解系为: (6,1 37) . T 因此, A 的属于 的所有特征向量为: k (6,1 37) ( k 0). 2 2 2 3 1 1 (2) 2 0 1 ; 1 1 2 3 1 1 解: I A 2 1 ( 1)( 2)2 1 1 2 所以,特征值为: 1 1(单根 ) , 2 2 (二重根 ) 2 1 1 1 0 0 1 I A 2 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 所以, ( ) 0 T 1 I A x 的基础解系为: (0,1,1) . T 因此, A 的属于 的所有特征向量为: k (0,1,1) (k 0). 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 I A 2 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 T 所以, ( ) 0 的基础解系为: 2 I A x (1,1,0) . T 因此, A 的属于 的所有特征向量为: k (1,1,0) ( k 0). 2 2 2 2 0 0 (3) 1 1 1 ; 1 1 3 2 0 0 3 解: I A 1 1 1 ( 2) 1 1 3 所以,特征值为: 1 2 (三重根 ) 0 0 0 1 1 1 1 I A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 所以, ( ) 0 的基础解系为: T T 1 I A x (1,1,0) ,( 1,0,1) . T T 因此, A 的属于 的所有特征向量为: k (1,1,0) k ( 1,0,1) ( k , k 为不全为零的任 1 1 2 1 2 意常数 )。 1 2 3 4 0 1 2 3 (4) ; 0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 2 3 4 解: I A ( 1) 0 0 1 2 0 0 0 1 所以,特征值为: 1 1( 四重根 ) 0 2 3 4 0 0 2 3 1 I A 0 0 0 2 0 0 0 0 所以, ( ) 0 T 1 I A x 的基础解系为: (1,0,0,0) . 因此, A 的属于 的所有特征向量为: k (1,0,0,0)T ( k 0 ) 1 1 1 4 5 2 (5) 2 2 1 ; 1 1 1 4 5 2 解: I A 2

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