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《概率论与数理统计》第3章3_2边缘分布.ppt

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《概率论与数理统计》第3章3_2边缘分布.ppt

《概率统计》 下页 结束 返回 一、二维随机变量的边缘分布函数 §3.2 二维随机变量的边缘分布 下页 二、二维离散型随机变量的边缘分布列 三、二维连续型随机变量的边缘密度函数 一、二维随机变量的边缘分布函数 下页 1. 定义 二维随机变量 (X,Y)的分量X和Y的分布函数,分别称 为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数,记为FX(x) , FY(y) 2. 由联合分布函数求边缘分布函数 设(X,Y) 的联合分布函数F(x, y) , 则X和Y的边缘分布函数 FX(x) , FY(y) 分别为 下页 二、离散型二维随机向量的边缘分布列 1. 定义 二维离散型随机变量 (X,Y)的分量X和Y的分布列, 分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布列,记为 下页 二、离散型二维随机向量的边缘分布列 2. 由联合分布列求边缘分布列 则 (X,Y) 的边缘分布列为 pij = P{X=xi ,Y=yj} , i=1,2,…; j=1,2,… 若 (X,Y) 的联合分布列为 类似的有 1 p.1 p.2 … p.j … P{Y=yj} p1. p2. pi. p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … pi1 pi2 … pij … … … x1 x2 xi P{X=xi} y1 y2 … yj … X Y 下页 p1. p2. ··· pi. ··· P x1 x2 ··· xi ··· … X p.1 p.2 ··· p.j ··· P y1 y2 ··· yj ··· … Y X 3 4 5 P Y的分布列为 Y 0 1 2 P ? X的分布列为 Y X 0 1 2 pi· 3 0 0 4 0 5 p.j 1 例1.已知随机向量(X,Y)的分布如下表,求关于X 和Y 的 边缘分布. 下页 解: 三、二维连续型随机变量的边缘密度函数 设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y), 则 由 得 即 下页 1. 定义 二维连续性随机变量 (X,Y)的分量X和Y的概率密度函数 为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数,记为fX(x) , fY(y) 2. 由联合密度函数求边缘密度函数 即若(X,Y)的联合概率密度 f(x,y) , 则 下页 注:在(1)式等号左边求积分时,是针对于每个固定的x对y (1) (2) 求积分,积分变量y的积分限要通过已固定的x来确定; 在(2)式等号左边求积分时,是针对于每个固定的y对x 求积分,积分变量x的积分限要通过已固定的y来确定. 例2. 设(X,Y)在区域D:抛物线 y =x2 和直线 y=x 所围成 的区域上服从均匀分布,求(X,Y)的联合密度与边缘概率密度. 下页 解: 由于D 的面积为 故(X,Y)联合概率密度为 当0≤x≤1时, 即 下页 例2. 设(X,Y)在区域D:抛物线 y =x2 和直线 y=x 所围成 的区域上服从均匀分布,求(X,Y)的联合密度与边缘概率密度. 解: 由于D 的面积为 当0≤y≤1时, 即 下页 例2. 设(X,Y)在区域D:抛物线 y =x2 和直线 y=x 所围成 的区域上服从均匀分布,求(X,Y)的联合密度与边缘概率密度. 解: 由于D 的面积为 例3. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为 求 X, Y的边缘概率密度. 解:当x>0时, 当x≤ 0时, 即 y=x o 下页 当y>0时, 当y≤ 0时, 即 y=x o 下页 例3. 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为 求 X, Y的边缘概率密度. 例4. 已知随机向量(X,Y)的联合分布函数为 求: ①常数a,b,c;②联合密度函数 f(x,y);③X,Y的边缘分布 函数. 解:①由F(-∞,0)=0, F(0,-∞)=0, F(+∞, +∞)=1, 得 ② f(x,y) 下页 解得 即分布函数为 ③ 下页 例4. 已知随机向量(X,Y)的联合分布函数为 求: ①常数a,b,c;②联合密度函数 f(x,y);③X,Y的边缘分布 函数. 分布函数为 (X,Y)联合分布 (X,Y)边缘分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y} FX(x) = P{X ≤x,Y <+∞} F Y(y) = P{X < +∞,Y ≤y} 离散型 F(x ,y) = P{X=xi ,Y=y j}= pi j pi .=P{X= xi}= p.j=P{Y= yj}= 连续型 下页 作业: 66页 1,4 结束 三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数 设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y), 由 得 即 的几何意义如右图. 其值表示红曲边梯形的面积. 下页

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