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《概率论与数理统计》第1章1_3古典概型.ppt

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《概率论与数理统计》第1章1_3古典概型.ppt

§1.3 古典概型 《概率统计》 下页 结束 返回 一、古典概型的定义 二、古典概型计算公式 五、几何概型及其计算 三、古典概型计算步骤 四、古典概型计算举例 下页 当 时,称为全排列,计算公式为 从 个不同的元素中, 任取 个元素, 按照一定的顺序排成一列 ,全部排列个数为 从 个不同的元素中, 任取 个元素并成一组 ,全部组合数为 取数与次序有关 取数与次序无关 第一类方法有 种方法 第二类方法有 种方法 第 类方法有 种方法 …… 做一件事共有 类方法 完成这件事的方法总数 第一步有 种方法 第二步有 种方法 第 步有 种方法 …… 做一件事共有 个步骤 完成这件事的方法总数 古典概型 1. 古典概型 若试验E具有以下两个特征: (1) 所有可能的试验结果(样本点)为有限个, 即Ω={ω1,ω2,…,ωn}; (2) 每个样本点发生的可能性相同, 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn). 则称这类试验的数学模型为等可能概型(古典概型). 2. 古典概型中事件概率的计算公式 设随机试验E为古典概型,其样本空间Ω及事件A分别为: Ω={ω1,ω2,…,ωn} A={ωi1,ωi2,…,ωik} 则随机事件 A 的概率为: 下页 3. 古典概型的概率计算步骤 (1) 指出样本点(样本点); (2) 计算样本空间中样本点(样本点)总数n; (3) 指出事件A; (4) 计算事件A中样本点(样本点)总数k; (5) 计算事件A的概率P(A). 下页 4.1 古典概型的概率计算举例(“数一数”法) 例1. 抛一枚硬币,问硬币落地后正面向上的概率是多少? 解:显然,样本点为:{正面向上},{反面向上},因而样本空间 Ω={{正面向上},{反面向上}}, 所以Ω的样本点总数为2. 设A=“正面向上” [或设A表示“正面向上”事件],则A包含的样本点为{正面向上},即它包含的样本点总数为1. 所以,P(A)=1/2=0.5. 例2. 将一枚硬币抛两次,问试验后有一次正面向上的概率是多少? 解:样本点为:{正,正} , {正,反} , {反,正} , {反,反} ,因而样本 空间Ω={{正,正} , {正,反} , {反,正} , {反,反}}, 所以Ω的样本点 总数为4. 下页 4.1 古典概型的概率计算举例(“数一数”法) 例2. 将一枚硬币抛两次,问试验后有一次正面向上的概率是多少? 解:样本点为:{正,正} , {正,反} , {反,正} , {反,反} ,因而样本空间Ω={{正,正} , {正,反} , {反,正} , {反,反}}, 所以Ω的样本点总数为4. 设A=“有一次正面向上” ,则A={{正,反} , {反,正} }, 显然A包含的样本点总数为2. 所以,P(A)=2/4=0.5. 下页 4.1 古典概型的概率计算举例(“数一数”法) 例3. 口袋中有100只球,编号依次为1,2,3,…,100,现从中任取一球,问取得的球编号不超过20的概率? 解:样本点为:{1号球} , {2号球},…, {100号球} ,因而样本空 间Ω={{1号球} , {2号球},…, {100号球} }, 所以Ω的样本点总数 为100. 设A=“取得的球编号不超过20”,则A={{1号球} , {2号球},…, {20号球} },显然A包含的样本点总数为20. 所以, P(A)=20/100=0.2. 问题:在本例中,取得的球编号为5的倍数的概率是多少? 下页 4.2 古典概型的概率计算举例(“算一算”法) 例4. 7件产品中有3件次品,现从中任取3件.问3件中恰有1件次品 的概率? 解: 7件产品中任意3件的一个组合,是一个样本点,即是一个 可能的基本结果(说明这一点很重要!),因此,所有可能的基本事 件总数(即样本空间中的样本点总数)为 设A=“3件中恰有1件次品”, 则A包含的样本点总数为 从而,P(A)= 下页 4.2 古典概型的概率计算举例(“算一算”法) 例5. 一套5卷的选集随机地排放在书架上,问:(1)第1卷放在最左 边的概率?(2)从左到右正好按卷号排成12345的概率? 解:5卷选集在5个位置上的任一种排列,是一个样本点,因此,所有可能的样本点总数(即样本空间中的样本点总数)为5!. 设A=“第1卷放在最左边”, B=“从左到右正好按卷号排成12345”. 则A包含的样本点总数为1*4!,B包含的样本点总数为1. 从而,P(A)=4!/5!,P(B)=1/5!. 小结:计算样本空间所含样本点总数,有时用排列有时用组合,那么何时用排列何时用组合?一般来讲,当考虑“顺序”时用排列,不考虑“顺序”时用组合.另外,当考虑“顺序”时,样本空间及所关心的事件A所包含的样本点总数的计算,都要用排列,反之亦然. 下页 4.3 古典概型的概率计算举例(利用运算性质) 例6.口袋中有6只球,其中白球4只,黑球2只.现从中任取1只(取 后不放回),然后再任取1只,求:(1)取到2只白球的概率?(2)取到 两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率? 解:6只球中的任意2只球的一种排列,是一个样本点,因此,所 有可能的样本点总数为A62. 设A=“取到2只白球”, B=“取到2只黑球” , C=“取到两个颜色相同的球”, D=“至少取到1只白球” . 则A包含的样本点总数为A42,B包含的样本点总数为A22, 则P(A),P(B)可求. 而显然,C=A∪B=A+B;D+B=Ω(即D与B互逆), 从而有,P(C)= P(A)+P(A); P(D)=1- P(B). 下页 4.4 古典概型的概率计算举例(经典问题) 例7.设有n个球,随机的放到m个盒子中去,(n≤m),求下列事件的概率.(1)A=“指定的n个盒子中各有一个球”;(2)B=“恰有n个盒子各有一个球”. 解: n个球在个m位置上的任一种放法是一个样本点.所以,Ω中的样本点总数为 mn 个. (1)指定的n个盒子各放入一个球,就是n个球在n个指定的盒子中的排列,即 A 中的样本点数为n!,从而P(A) 可求. (2)因为没有指定是哪n个盒子,这n个盒子可以从m个盒子中任意选取,共有Cmn 种选法,即B中的样本点数为Cmn ×n!,于是P(B) 可求. 下页 例8.可化为分球入盒的问题 (1)生日问题: a) 宿舍住着6名同学,求6个人生日的月份互不相同的概率; b)一个班有30名同学,求至少有2人的生

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