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(完整word版)西安交通大学数理统计研究生试题.docx

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(完整word版)西安交通大学数理统计研究生试题.docx

2009( 上 ) 《数理统计》考试题 (A 卷) 及参考解答 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1,设总体 X 和 Y 相互独立,且都服从正态分布 N (0, 32 ) ,而 ( X1 , X 2 , X9 )和 (Y1 ,Y2 ,Y9 ) 是分别来自 X 和 Y 的样本,则 U X1 X 9 服从的分布是 _______ . Y1 2 Y92 解: t(9) . 2,设 ?1 与 ?2 都是总体未知参数 的估计,且 ?1比 ?2 有效,则 ?1 与 ?2 的期望与方差满 足_______ . 解: E( ?1) E( ?2 ), D ( ?1) D ( ?2 ) . 3,“两个总体相等性检验”的方法有 _______ 与 ____ ___. 解: 秩和检验、游程总数检验. 4,单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是 _______ . 解: 正态性、方差齐性、独立性. 5,多元线性回归模型 Y X β 中, β 的最小二乘估计是 ? β = _______ . ? 1 X Y . 解: β=( X X ) 二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1,设 ( X1 , X 2 , , X n ) ( n 2) 为来自总体 N (0,1) 的一个样本, X 为样本均值, S2 为 样本方差,则 ____D___ . ( A) nX N (0,1) ; (B) nS2 2 ( n) ; ( C) (n 1) X t (n) ; ( D) (n n 1)X12 F (1,n 1) . S i 2 X i2 2,若总体 X N ( , 2 ) ,其中 2 已知,当置信度 1 保持不变时,如果样本容量 n 增大,则 的置信区间 ____B___ . ( A)长度变大; ( B)长度变小; ( C)长度不变; ( D)前 述都有可能 . 3,在假设检验中,分别用 , 表示犯第一类错误和第二类错误的概率,则当样本容 量 n 一定时,下列说法中正确的是 ____C___ . ( A) 减小时 也减小; ( B) 增大时 也增大; ( C) , 其中一个减小,另一个会增大; ( D)( A)和( B)同时成立 . 4,对于单因素试验方差分析的数学模型, 设 ST 为总离差平方和, Se 为误差平方和, SA 为效应平方和,则总有 ___A___ . ( A) ST Se SA ; ( B) SA 2 (r 1) ; 2 ( C) SA /(r 1) F ( r 1, n r ) ; ( D) SA 与 Se 相互独立 . Se /(n r ) 5,在一元回归分析中,判定系数定义为 R2 S回 ,则 ___B____ . ST ( A) R2 接近 0 时回归效果显著; (B) R2 接近 1 时回归效果显著; ( C) R2 接近 时回归效果显著; ( D)前述都不对 . 三、(本题 10 分) 设总体 X N ( 1, 2 ) 、 Y N ( 2 , 2 ) , ( X1 , X 2 , , X n1 ) 和 (Y1 ,Y2 , ,Yn2 ) 分别是来自 X 和 Y 的样本, 且两个样本相互独立, X、 Y 和 SX2、 SY2 分别是 它们的样本均值和样本方差,证明 ( X Y ) ( 1 2 ) t( n1 n2 2) , S 1 1 n1 n2 其中 S2 (n1 1)SX2 n2 (n2 1)SY2 . n1 2 证明: 易知 2 2 ( X Y ) ( 1 2 ) X Y N ( 1 2 , n1 ) , U N (0,1) . n2 1 1 n1 n2 由定理可知 ( n1 1) SX2 2 (n1 1) , (n2 1)SY2 2 ( n2 1) . 2 2 由独立性和 2 分布的可加性可得 V (n1 1)SX2 (n2 1)SY2 2 (n1 n2 2) . 2 2 由 U 与 V 得独立性和 t 分布的定义可得 ( X Y ) ( 12 ) U t(n1 n2 2) . 1 1 S V /(n1 n2 2) n n 2 1 1 e x 四、(本题 10 分) 已知总体 X 的概率密度函数为 , x 0 f (x) , 其中未知参 0, 其它 0, ( X1, X 2 , , X n ) 为取自总体的一个样本, 求 的矩估计量, 并证明该估计量是无 偏估计量. 1 x 1 n 解:( 1) v1 E X xf ( x)dx xe dx ,用 v1 X 代替,所 0 Xi n i 1 以 ? 1 n n i X i X . 1 ( 2) E( ?) 1 n E( X ) E( X ) E( X i ) ,所以该估计量是无偏估计. n i 1 五、(本题 10 分) 设总体 X 的概率密度函数为 f ( x; ) (1 ) x , 0 x 1,其中未 知参数 1 , ( X1 ,X 2 , X n ) 是来自总体 X 的一个样本,试求参数 的极大似然估计. 解: 1)n n L( ( ( xi ) , 0 xi 1 ) i 1 0 , 其它 当 0 1 时, ln L ( ) n ,令 d ln L( ) n n xi n ln( 1) ln xi ln xi 0 , i 1 d 1 i 1 得 ? 1 n . n ln xi i 1 六、(本题 10 分)设总体 X 的密度函数为 f ( x; ) e x, x > 0; 0 , 0, x 未知参数 0, ( X1,X 2 , X n ) 为总体的一个样本,证明 X 是 1 的一个 UMVUE. 证明: 由指数分布的总体满足正则条件可得 2 1 1 I ( )E2 ln f ( x; ) E 2 2 , 1 的的无偏估计方差的 C-R 下界为 1 2 2 [( 1 ) ] 2 1 nI ( ) n 1 n 2 . 2 另一方面 1 E( X ) 1 , V a rX( )  , 即 X 得方差达到 C-R 下界,故 X 是 1 的 UMVUE. 七、(本题 10 分)合格苹果的重量标准差应小于 0.005 公斤.在一批苹果中随机取 9 个 苹果称重 , 得其样本标准差为 S 0.007公斤 , 试问:(1)在显著性水平 0.05 下 , 可否认 为该批苹果重量标准差达到要求 ? ( 2)如果调整显著性水平 0.025,结果会怎样? 2 0. 05  参 考 数 据 : 2 (9) 19.023 , 2 (9) 16.919 , 2 (8) 17.535 , 0.025 0.05 0.025 15.507 . 解:( 1) H 0 : 2 0.005, 2 n 1 S2 2 8 2~ ,则应有: P 2 2 8 0.005, 2 (8) 15.507 , 0.05 0.05 具体计算得: 2 8 0.0072 15.68 15.507, 所以拒绝假设 H 0 ,即认为

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