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考研必备资料高等数学知识点归纳(良心出品必属精品).doc

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考研必备资料高等数学知识点归纳(良心出品必属精品).doc

【2012 考研必备资料】高等数学知识点归纳 第一讲 : 极限与连续 一. 数列函数 : 类型 : (1) 数列 : * an f ( n) ;* an 1 f (an ) 初等函数 : (3) f1 ( x) x x0 ; * F ( x) f (x) x x0 ;* 分段函数 : * F ( x) , , f 2 ( x) x x0 a x x0 (4) 复合 ( 含) 函数: y f (u), u ( x) (5) 隐式 ( 方程): F (x, y) 0 (6) x x(t) 参式 ( 数一, 二): y(t) y (7) 变限积分函数 : F ( x) x f ( x,t) dt a (8) 级数和函数 ( 数一 , 三): S( x)an xn , x n 0 特征(几何): (1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( f ( x) 单调 x0 , ( x x0 )( f (x) f ( x0 )) 定号 ) 奇偶性与周期性 ( 应用 ). 3. 反函数与直接函数 : y f (x) x f 1 ( y) y f 1 (x) 二 . 极限性质 : 1. 类型 : * lim an ;* lim f (x) ( 含 x );* lim f ( x) ( 含 x x0 ) n x x x0 无穷小与无穷大 ( 注: 无穷量 ): 3. 未定型: 0 , ,1, ,0 ,00, 0 0 性质: * 有界性, * 保号性, * 归并性 . 常用结论 : 1 1 1 an n n 1, a n (a 0) 1 , (an bn cn ) n max(a, b, c) , a 0 0 n! 1 1 lim xx lim x n 0 , lim ln n x ( x 0) , 1 , x 0 , x x 0 x e x x lim xln n x 0 , ex 0 , x x 0 x . 必备公式 : 等价无穷小 : 当 u( x) 0 时 , sin u(x) : u( x) ; tan u( x) : u( x) ; 1 cosu(x) : 1 u 2 ( x) ; 2 eu (x) 1 : u( x) ; ln(1 u( x)) : u( x) ; (1 u( x)) 1 : u( x) ; arcsin u( x) : u( x) ; arctanu(x) : u( x) 泰勒公式 : (1) ex 1 x 1 x2 o(x2 ) ; 2! 1 x2 (2) ln(1 x) x o( x2 ) ; 2 (3) sin x x 1 x3 3! (4) cos x 1 1 2! (5) (1 x) 1 x  o( x4 ) ; x21 x4 o( x5 ) ; 4! ( 1) x2 o(x2 ) . 2! 五 . 常规方法 : 前提 : (1) 准确判断 0 , ,1 , M (其它如: ,0 ,00, 0 ); (2) 变量代换 1 0 ( 如: t ) x 抓大弃小 ( ), 2. 无穷小与有界量乘积 ( M ) ( 注: sin 1 1,x) x 处理(其它如 : 00, 0) 4. 左右极限 ( 包括 x ): 1 ( x 0) ; (2) ex ( x 1 (1) ) ; ex ( x 0) ; (3) 分段函数 : x , , max f ( x) x 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 ) 洛必达法则 2 先”处理” , 后法则 ( 0 最后方法 );( 注意对比 : lim x ln x 与 lim x ln x ) 0 x 1 1 x x 0 1 x 1 1 1 1 1 (2) 幂指型处理 : u( x) v( x ) ev( x)ln u ( x) ( 如: ex 1 ex ex ( ex 1 x 1) ) (3) 含变限积分 ; (4) 不能用与不便用 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : f (x) lim F ( x, n) ( 分段函数 ) n . 非常手段 收敛准则 : (1) an f (n) lim f ( x) x (2) 双边夹: * bn an cn ? , * bn ,cn a ? (3) 单边挤 : an 1 f ( an ) * a2 a1 ? * an M ? * f ( x) 0? 2. 导数定义 ( 洛必达 ?): V f f (x0 ) lim 3. 积分和 : lim 1 [ f ( 1) V x 0 Vx L f ( n)] f ( x)dx , 2 1 n n n n n 0 4. 中值定理 : lim[ f ( x a) f ( x)] a lim f ( ) x x 级数和 ( 数一三 ): (1) an 收敛 lim an 0 , ( 如 lim 2n nn! )(2) lim( a1 a2 L an ) an , n 1 n n n n n 1 (3) { an} 与 (an an 1 ) 同敛散 1 . 常见应用 : 无穷小比较 ( 等价 , 阶 ): * f ( x) : kxn ,( x 0)? (1) f (0) f (0) L f (n 1) (0) 0, f ( n) (0) a f ( x) a xn (xn ) : a xn n! n! x f (t) dt : x (2) kt ndt 0 0 渐近线 ( 含斜 ): (1) a lim f ( x) ,b lim[ f ( x) ax]f ( x) : ax b x x x (2) f ( x) ax b ,( 1 0 ) x 3. 连续性 : (1) 间断点判别 ( 个数 ); (2) 分段函数连续性 ( 附 : 极限函数 , f (x) 连续性 ) 3 八 . [a, b] 上连续函数性质 1. 连通性 : f ([ a, b]) [ m, M ] ( 注: 0 1 “平均” , 值 : f (a) (1 ) f (b) f ( x0 ) ) 介值定理 :( 附: 达布定理 ) (1) 零点存在定理 : f (a) f (b) 0 f ( x0 ) 0 ( 根的个数 ); (2) ( ) x ( ) ) 0 . f 0 ( x a f x dx 第二讲 : 导数及应用 ( 一元 )( 含中值定理 ) 一 . 基本概念 : 1. 差商与导数 : f (x) lim f ( x Vx) f ( x) ; f ( x0 ) lim f (x) f (x0 ) Vx 0 Vx x x0 x x0 (1) f (0) lim f (x) f (0) ( 注: lim f (x) A( f 连续 ) f (0) 0, f (0) A ) x 0 x x 0 x 左右导 : f (x0

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