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《D8_3二重积分在几何上的应用》.ppt

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《D8_3二重积分在几何上的应用》.ppt

D8_3二重积分在几何上的应用 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 在点 例1. 求曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为? 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d? , (称为面积元素) 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P202) 方法1 利用球坐标方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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