《Chapter1.2基本概念和常微分方程的》.ppt

Chapter1.2基本概念和常微分方程的 * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 微分方程的定义 自变量,未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值时称为复值时称为复值微分方程。 * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 1.2.1常微分方程和偏微分方程 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程 微分方程出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数 常微分方程： 偏微分方程： * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 线性和非线性： 如果方程 的左端为 的一次有理整式,则称该程为 n 阶线性微分方程. * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 一般 n 阶线性微分方程具有形式： * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 通解和特解 我们把含有 n 个独立的任意常数 c1,c2,… cn 的解称为 n 阶方程的通解. 为了确定微分方程的一个特定的解,需要定解条件. n阶微分方程的初值条件是指如下的n个条件: * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 求微分方程满足定解条件的解,就是所谓的定解问题.当定解条件为初值条件时,相应的定解问题,就称为初值问题.我们把满足初值条件的解称为微分方程的特解. * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 积分曲线和方向场 一阶微分方程的表示Oxy平面上的一条曲线,称为微分方程的积分曲线,而通解表示平面上的一族曲线,特解则为过点 (x0,y0) 的一条积分曲线,积分曲线上过每一点的切线斜率为方程右端 f(x,y) 在该点的值；反之,如有一条曲线,其上每一点的切线斜率为f(x,y),则此曲线为积分曲线. 方向相同的曲线 f(x,y)=k 称为等倾斜线或等斜线,可以利用取不同 k 值的等倾斜线来判别积分曲线的走向。 * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 微分方程组 用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组.其中 n 阶常微分方程写成为解出最高阶导数的形式: 如果把 z, z?,…, z(n?1), z(n) 都理解为未知函数,作变换: y1=z, y2=z?,…, yn=z(n?1)则 n 阶方程(1)可以用以下一阶方程组替换: * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * * 第一章第2节 基本概念和常微分方程的发展历史 * 可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组