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《3、逆矩阵重点和习题》.ppt

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《3、逆矩阵重点和习题》.ppt

3、逆矩阵重点和习题 结合行列式的展开定理,有: 引例:若 ,求矩阵X,使:AX=E2 解:设 解线性方程组容易得到:x1=3, x2=-2 ,x3=-1, x4=1. 问题:对于矩阵A,是否存在一个矩阵A-1,使得: 比较矩阵方程AX=B与数的方程ax=b. 二、逆矩阵的概念 1.定义:对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使 AB=BA=E,则称A为可逆矩阵(简称可逆),并称B为A的逆矩阵。 例:对于 , 否则称A是不可逆的。 AB=E =BA. 故A是可逆的 ,并且B为A的逆矩阵。 A的逆矩阵记为:A-1 ,即: A A-1= A-1 A=E 2.问题: (1)怎么样的方阵才可逆? (2)若A可逆,逆阵有多少个? (3)若A可逆,怎样去求它的逆阵A-1? 分析: 设B和C都是A的逆矩阵, 则: AB=BA=E , AC=CA=E, B=BE =B (AC) = (BA) C =EC =C 需证明B=C (证明唯一性常用同一法) 又 注:适当乘上单位阵E,并将E表示成一个矩阵与其逆阵乘积的形式,是一种常用的技巧。 单位阵技巧 3.定理:若A可逆,则A的逆阵唯一。 三、逆阵存在的充分必要条件 1.定理:若A可逆,则 . 注:如果 ,则称A是非奇异的,否则称A是奇异的。 2.伴随矩阵:设An=(aij),令Aij是A的行列式|A|中元素aij的代数余子式,将这n2个数排成如下n阶方阵: (注意 中Aij 的排列) 称之为A的伴随矩阵。 例:求 的伴随矩阵。 同理可得: 解: 所以: 2 -3 2 6 -6 2 -4 5 -2 3.定理:设A为n阶方阵,若 ,则A可逆,且: 一行元素与另一行元素对应代数余子式乘之和 |A| 0 0 0 |A| 0 |A| 0 0 一行元素与对应代数余子式乘之和 同理: 证明: 例:求 的逆矩阵。 解: A-1存在, 故 注:求逆阵需注意:1.Aij的符号(-1)i+j;2. 中Aij的排列。 4.定理:方阵A可逆 推论:若A、B都是n阶矩阵,且AB=E,则BA=E,即A、B皆可逆, 且A、B互为逆矩阵。 证明: 因为AB=E ,所以|A||B|=1 ,|A|?0, |B|?0, 故 A、B皆可逆。 BA =EBA =(A-1A)BA =A-1(AB)A =A-1EA =A-1A =E 注:1.判断B是否为A的逆, 只需验证AB=E或BA=E的一个等式成立即可。 2.逆矩阵是相互的。 即:若A-1=B,则B-1=A. (课本54页推论1) 练习:1.求 的逆矩阵。 答案:1. (其中|A|=-1) 2.设A、B都是n阶方阵,B可逆,且A2+AB+B2=O,证明:A和A+B均可逆。 2.提示:只需证明 把A2+AB+B2=O改写为A(A+B)=-B2 思考: 四、逆阵的性质 1.若A可逆,则A-1也可逆,且(A-1)-1=A. 2.若A可逆,数 ,则kA也可逆,且: 3.若A可逆,则AT也可逆,且 (AT)-1= (A -1)T. 4.若A、B为同阶可逆方阵,则其积AB也可逆,且: (AB)-1= B-1A-1 推广: 5.若A可逆,|A-1|=|A|-1 ,(AB)-1≠ A-1B-1 注:一般的, (kA)-1≠ kA-1 例:设 求矩阵X, 使 AX=B. 分析:法一:待定系数法 若 法二: ,则A可逆, 由 AX=B可得: X=A-1B 注:若YA=B ,则Y=BA-1. 例:矩阵A、B满足AB=2A+B,求A,其中: 分析: ∵ AB=2A+B ∴ AB-2A=B ∴ A(B-2E)=B 若|B-2E|≠0 ,则A=B (B-2E)-1 容易错为 A(B-2)=B A=B (B-2E)-1 练习:用逆矩阵解线性方程组 答案: * * 定义了矩阵的乘法, 是否可以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足交换律, 因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 在数的运算中, 当数a?0时, aa-1=a-1a=1, 这里a-1=1/a称为a的倒数, (或称a的逆); 在矩阵乘法运算中, 单位矩阵I相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A, 是否存在一个矩阵A-1, 使得AA-1=A-1A=E呢? 如果存在这样的矩阵A-1, 就称A是可逆矩阵, 并称A-1是A的逆矩阵. * * 定义中A与B的地位是平等的 * * 定义了矩阵的乘法, 是否可以定义矩阵的除法呢? 由于矩阵乘法不满足交换律, 因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 在数的运算中, 当数a?0时, aa-1=a-1a=1, 这里a-1=1/a称为a的倒数, (或称a的逆); 在矩阵乘法运算中, 单位矩阵I相当于数的乘法中的1, 则对于一个矩阵A, 是否存在一个矩阵A-1, 使得AA-1=A-1A=E呢? 如果存在这样的矩阵A-1, 就称A是可逆矩阵, 并称A-1是A的逆矩阵. * * 定义中A与B的地位是平等的

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