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《2.5 矩阵的秩及其求法》.ppt

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《2.5 矩阵的秩及其求法》.ppt

2.5 矩阵的秩及其求法 * 1. k 阶子式 定义1 设 在A中任取k 行k 列交叉 称为A的一个k 阶子式。 阶行列式, 处元素按原相对位置组成的 一、矩阵的秩的概念 设 , 例如 矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素 所构成的二阶子式为 * 设 , 共有 个二阶子式,有 个三阶子式。 例如 而 为 A 的一个三阶子式。 显然, 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。 2. 矩阵的秩 设 , 有r 阶子式不为0,任何r+1阶 记作R(A)或秩(A)。 子式(如果存在的话)全为0 , 定义2 称r为矩阵A的秩, 二、矩阵秩的求法 1、子式判别法(定义)。 例1 为阶梯形矩阵, 求R(B)。 解 , 由于 二阶子式不为0, 所以 R(B) = 2. 例2 求R(A)。 * 解: 存在一个三阶子式不为0, 所以 R(A) = 3. A没有4阶子式, * 例如 一般地, 行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。 * 如果 求 a . 解 或 例3 设 分析:R(A)<3,A所有的3阶子式为零,即A的行列式为零。 * 则 例3 A有非零的1阶子式,但A所有的 2阶子式都为0,所以R(A)=1 舍去K=1。得K=-3。 分析:R(A)=3<4,A所有的4阶子式为零,即A的行列式为 零。 * 2、用初等变换法求矩阵的秩 定理1 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即 则 注: 只改变子行列式的符号。 是 A 中对应子式的 k 倍。 是行列式运算的性质。 第二种求矩阵A的秩方法: 1) 2)R(B)等于非零行行数, * 例4 解 R(A) = 2 , 求 求矩阵 的秩。 解 所以R(A)= 2 。 例5 * 例6 Ex1. 求矩阵A 的秩,并求A 的一个最高阶非零子式。 解 先求A 的秩,对A 作初等行变换化为行阶梯形: 故R(A)= 3 。 再求A 的一个最高阶非零子式。 因R(A)= 3 ,知A 的最高阶非零子式为 3 阶, 返回 易计算A 的前三行构成的子式 因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。 * 三、满秩矩阵 称 A 是满秩阵,(非奇异矩阵) 称 A 是降秩阵,(奇异矩阵) 可见: A 为 n 阶方阵时, 定义3 对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用: 每对A施行一次初等行变换, 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理. 定理2 设A是满秩方阵,则存在一系列初等方阵 使得 * 例7 A为满秩方阵。 此过程相当于 * 关于秩的一些结论(熟记): 规定: 零矩阵的秩为 0 . (1) 根据行列式的性质, (2) A为m×n矩阵, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } . 定理3 R(AB) R(A), R(AB) R(B),即 R(AB) min{R(A),R(B)}。 设A是 矩阵, B是 矩阵, 定理4 推论1 如果 A B = 0 则 推论2 如果 R(A)= n, A B = 0 则 B = 0。 推论3 若A,B均为 矩阵,则 * 设A为n阶矩阵,证明R(A+E)+R(A-E)≥n 证: R(A+E)+ R( E-A )≥ R[(A+E)-(A-E)] =R(2E)=n ∴ R(A+E)+R(A-E)≥n 例8 推论3 若A,B均为 矩阵,则 * 作业 P109 1 2 3 性质1 证明: 因为 所以 定理5

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