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《2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩》.ppt

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《2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩》.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 2.3 逆矩阵公式和矩阵的秩 定理2.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,则 证明? 定理2.6 证明: 定理2.6 证明: 逆矩阵的求法二:伴随矩阵法 下页 解? 所以A可逆? 又因为 ?5 2 ?1 10 ?2 2 7 ?2 1 例2 设A为三阶矩阵, ,求 解: 知 可逆,且 ,所以 又 ,于是 二、矩阵的秩 定义2?4(k阶子式) 设A是m?n矩阵? 从A中任取k行k列(k?min(m, n))? 位于这些行和列的交叉处的元素? 保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式? 称为矩阵A的一个k阶子式? 上页 下页 铃 结束 返回 首页 定义2?5(矩阵的秩) 设A为m?n矩阵? 如果A中不为零的子式最高阶数为r? 即存在r阶子式不为零? 而任何r?1阶子式皆为零? 则称r为矩阵A的秩? 记作秩(A)?r或r(A)?r? 当A?O时? 规定r(A)?0? 矩阵的秩的简单性质 (1)r(A)?r(AT)? (2)对于m?n矩阵A? 有0?r(A)?min(m, n)? 当r(A)?min(m, n)时? 称矩阵A为满秩矩阵? 下页 定义2?12(矩阵的秩) 设A为m?n矩阵? 如果A中不为零的子式最高阶数为r? 即存在r阶子式不为零? 而任何r?1阶子式皆为零? 则称r为矩阵A的秩? 记作秩(A)?r或r(A)?r? 当A?O时? 规定r(A)?0? 上述矩阵都是满秩矩阵? 下页 定理2?7 矩阵经初等变换后? 其秩不变? 解? 由定理2?5知? A的秩等于经初等变换后所求出的最后一矩阵的秩? 而最后一矩阵的秩显然等于3? 故r(A)?3? 思考? A的秩与最后一个阶梯形矩阵的非零行有什么关系? 下页 阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数? 解? 最后一矩阵为阶梯形矩阵? 有三个非零行? 故r(A)?3? 下页 阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数? 解? 最后一矩阵为阶梯形矩阵? 有两个非零行? 故r(A)?2? 下页 例4 设B为n阶非奇异矩阵? A为m?n矩阵? 试证? A与B之积的秩等于A的秩? 即r(AB)?r(A)? (P60/2.18) 因为B非奇异? 故可表示成若干初等矩阵P1? P2? ???? Ps之积? B?P1P2 ??? Ps? 于是 AB?AP1P2 ??? Ps? 这表示AB是A经s次初等变换后得出的? 因而r(AB)?r(A)? 证? 结束 ---------作为定理来用 几个常用性质:P60 例5 设 是n阶矩阵 的伴随矩阵, 证明: 若 若 若 P60/ 2.19 证: (1) 若 则 上页 下页 铃 结束 返回 首页

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