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二重积分学习总结.docx

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二重积分学习总结.docx

高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名:徐琛豪 班级:安全工程 02班 学号: 21 完成时间: 2013年 6月 2日 二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联 系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限, 如何改换二次积分的积分次 序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。 熟练掌握直角坐标系和极坐标系 下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 二重积分的概念与性质 1. 二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义, 必须首先引入二重积分的两个 “原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一 个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出 发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意” ,一 是将区域 D成 n 个小区域 1, 2 ,L , n 的分法要任意,二是在每个 小区域 i 上的点 ( i , i ) i 的取法也要任意。有了这两个“任意” , 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值 0 时总有同一 个极限,才能称二元函数 f ( x, y) 在区域 D上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在 D 上 f ( x, y) ≥0,则 f ( x, y)d 表示以区域 D 为底,以 D f ( x, y) 为曲顶的曲顶柱体的体积。 特别地,当 f ( x, y) = 1 时, f (x, y)d D 表示平面区域 D的面积。 若在 D上 f (x, y) ≤0,则上述曲顶柱体在 Oxy面的下方,二 重积分 f ( x, y)d 的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积 D 若 f ( x, y) 在 D的某些子区域上为正的,在 D的另一些子区域 上为负的,则 f (x, y)d 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 D ( 即在 Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy 平面之下的曲顶柱体的 体积 ). 3.二重积分的性质,即线性、区域可加性、有序性、估值不等 式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。 有序性常用于比较两个 二重积分的大小,估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围, 在用估值不等式对一个二重积分估值的时候,一般情形须按求函数 f ( x, y) 在闭区域 D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值, 再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理 】 1. 二重积分的定义 设二元函数 f(x,y) 在闭区域 D上有定义且有 . 分割 用任意两组曲线分割 D成 n 个小区域 1 , 2 ,L , n,同时 用 i 表示它们的面积, i 1,2,L , n.其中任意两小块 i 和j (i j ) 除 边界外无公共点。 i 既表示第 i 小块 , 又表示第 i 小块的面积 . n 近似、求和 对任意点 ( i , i ) i , 作和式 f ( i , i ) i . i 1 取极限 若 i 为 i 的直径,记max{ 1, 2 ,L , n} , 若极限 n limf ( i , i )i 0 i 1 存在,且它不依赖于区域 D的分法,也不依赖于点 ( i , i ) 的取法,称 此极限为 f ( x,y ) 在 D上的二重积分 . 记为 n f ( x, y)d lim f ( i , i ). D 0 1 i f ( x,y ) 为被积函数, D为积分区域, x、y为积分变元, d 为面积微元( 或面积元素 ). 2. 二重积分f x y )d 的几何意义 ( , D (1) 若在 D上 f ( x,y ) ≥0,则 f ( x, y)d 表示以区域 D 为底,以 D f ( x,y ) 为曲顶的曲顶柱体的体积 . 若在 D上 f ( x,y ) ≤0,则上述曲顶柱体在 Oxy面的下方,二 重积分 f ( x, y)d 的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积 D 若 f ( x,y ) 在 D的某些子区域上为正的,在 D的另一些子区域 上为负的,则 f (x, y)d 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 D ( 即在 Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去 Oxy平面之下的曲顶柱体的 体积 ). 3.二重积分的存在定理 f ( x,y ) 在有界闭区域 D上连续,则 f ( x,y) 在 D上的二重积分必存在 ( 即 f ( x,y ) 在 D上必可积 ). 若有界函数 f ( x,y ) 在有界闭区域 D上除去有限个点或有限个光 滑曲线外都连续,则 f ( x,y ) 在 D可积 . 4.二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质 . 假设下面各性质中所涉及的函 f ( x, y) ,g(x,y) 在区域 D上都是可积的 . 性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积,且函数代数和的积 分等于各函数积分的代数和,即 [ f (x, y) g( x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d . D D D 性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即 kf ( x, y)dk f (x, y)d 为常数 (k ). D D 性质 3 若 D可以分为两个区域 D , D,它们除边界外无公共点, 1 2 则 f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d . D D1 D2 性质 4 若在积分区域 D上有 f ( x, y)=1,且用 S( D) 表示区域 D 的面积,则 d S(D). D 性质 5 若在 D上处处有 f ( x, y) ≤g( x, y) ,则有 f ( x, y)d g( x, y)d . D D 推论 f ( x, y)d f ( x, y) d . D D 性质 6( 估值定理 ) 若在 D上处处有 m≤f ( x, y) ≤M,且 S( D) 为 区域 D的面积,则 mS(D ) f (x, y)d MS(D ). D 性质 7( 二重积分中值定理 ) 设 f ( x, y) 在有界闭区域 D上连续, 则在 D上存在一点 ( , ) , 使 f ( x, y)d f ( , ) S( D ). D 【数学思想方法】 二重积分是一元函数定积分的推广与发展, 它们都是某种形式的 和的极限,即分割求和、取极限,故可用微元法的思想来理解二重积 分的概念与性质。 在直角坐标系中二重积分的计算 本章的重点是二重积分的计算问题,而直角坐标系中二重积分的 计算问题关键是如何确定积分区域及确定 X型区域还是 Y型区域,这 也是本章的难点。 直角坐标系中二重积分计算的基本技巧: 在定积分计算中,如果 D的形状不能简单地用类似 1 (x) y 2 ( x) 或 1 ( y) x 2 ( y) 的形式来表示,则我们可以将 D a x b c y d 分成若干块,并由积分性质 f ( x, y)d f ( x, y)d f (

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