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第3章3-01高斯消元法.ppt

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第3章3-01高斯消元法.ppt

第 3 章 线性代数方程组的数值解法 3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 迭代法 3.6 迭代法的收敛性 3.7 方程组的形态和误差分析 n 个未知量 n 个方程的线性代数方程组 矩阵形式 Ax=b , 其中 或写成 ? a j ? 1 n ij x j ? b i i ? 1, 2, , n 若矩阵 A 非奇异,方程组有惟一解,可用克莱姆( Cramer ) 法则求解 D k x k ? , ( k ? 1,2, , n ) D 其中 D ? det A , D k 是用向量 b 代替 A 的第 k 列后所得矩阵的行 列式。 克莱姆法则解线性方程组的计算量(乘法次数) S n ? ( n ? 1) ? n ! ? ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? !( n ? 1) 例如 n ? 20 ,乘法次数为 10 。计算量很大! 21 两类数值解法: 直接解法 : 假定计算过程没有舍入误差的情况下, 经过有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的 方法。经过有限步运算就能求得精确解的方法,但 实际计算中由于舍入误差的影响,这类方法也只能 求得近似解;例如: 高斯消去 法 、三角分解 法等。 迭代解法 : 构造适当的向量序列,用某种极限 过程去逐步逼近精确解。例如: 雅可比迭代 法、 高 斯 - 赛德尔迭代 法等。 上三 角形方程组 ? 4 x 1 ? 5 x 2 ? 6 x 3 ? 10 ? ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? 3 ? 7 x ? 7 3 ? 回代求解,得 5 6 10 ? ? 4 ? ? 2 3 3 ? ? ? ? ? 7 7 ? ? u 11 x 1 ? u 12 x 2 ? ? ? u 1 n x n ? y 1 ? u 22 x 2 ? ? ? u 2 n x n ? y 2 ? ? ? ? ? ? ? ? u nn x n ? y n ? ? 2 x 1 ? x 2 ? x 3 ? y 1 ? ? ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? y 2 ? 12 x 3 ? y 3 ? x 1 ? 1 / 2 x 2 ? ? 1 / 2 x 3 ? 3 / 2 下三角形方程组 7 ? ? 7 ? 2 ? 3 2 ? ? ? ? ? 4 5 6 10 ? 顺代可求得 ? ? 1 ? y 1 ? ? 7 ? 2 y 1 ? y 2 ? 3 y ? 2 y ? y ? ? 3 2 3 ? 1 y 1 ? ? 1 y 2 ? 9 y 3 ? 18 上二对角方程组 5 0 4 ? ? 4 ? ? 2 3 3 ? ? ? ? ? 7 7 ? 回代求解,得 下二对角方程组 7 ? ? 7 ? 4 ? 6 0 4 ? ? ? ? 0 2 3 3 ? ? 顺代可求得 3.1 高斯消去法 3.1.1 顺序高斯消去法 ( 按方程和未知量的自然顺序进行 ) 基本思想:用逐次消去未知数的方法把原方程组化为 上三角形 方程组进行求解 。 求解 分成两步: 1. 消元 过程:用 初等行变换 将原方程组的系数矩阵 化为上三角形矩阵(简称上三角阵)。 2. 回代 过程:对上三角形方程组的最后一个方程求 解,将求得的解逐步往上一个方程代入求解。 顺序高斯消去法消元过程 : 依从左到右、自上而下的次序将主对角元下方的元素化为零。 1 不作行交换。 2 用不等于零的数乘某行,加至另一行。 用高斯消去法解下列线性方程组 ? 2 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 4 ? ? x 1 ? 3 x 2 ? 2 x 3 ? 6 ? x ? 2 x ? 2 x ? 5 2 3 ? 1 解 对 线 性 方 程 组 第 1 次 消 元 , a 11 ? 2 ? 0 , 确 定 乘 数 a 31 1 a 21 1 m 21 ? ? ? 0 . 5 , m 31 ? ? ? 0 . 5 ,则有 a 11 2 a 11 2 ? 2 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 4 ? ( 2 ) ? m 21 ? ( 1 ) ? 0 x 1 ? 2 . 5 x 2 ? 1 . 5 x 3 ? 4 ,第 2 次消元, a 22 ? 2 . 5 ? 0 , ( 3 ) ? m 31 ? ( 1 ) ? ? 0 x 1 ? 1 . 5 x 2 ? 1 . 5 x 3 ? 3 确定乘数 m 32 a 32 1 . 5 ? ? ? 0 . 6 ,有 a 22 2 . 5 ? 2 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 4 ? ? 0 ? 2 . 5 x 2 ? 1 . 5 x 3 ? 4 ? ( 3 ) ? m 32 ? ( 2 ) ? 0 ? 0 ? 0 . 6 x 3 ? 0 . 6 回代 x 3 ? 1, x 2 ? 1, x 1 ? 1 系数行列式的计算: 例 消元过程 主元为 2 , 2.5 , 0.6 det A = 2 × 2.5 × 0.6 = 3 引进记号 A ( k ) ( k ? 1, 2, ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , n ) (1) 11 a a (1) 12 (2) 22 a ( k ) kk ( k ) a kn ? ? a ? ? ? ( k ) a kn ? ? ? ( k ) ? a nn ? a (1) 1 n (2) 2 n , b ( k ) ? b 1 (1) ? ? (2) ? ? b 2 ? ? ? ? ? ( k ) ? ? b k ? ? ? ? ? ? b ( k ) ? ? n ? , 矩阵形式 A ( k ) x ? b ( k ) , ( k ? 1, 2, , n ) 消元过程 (1) (2) 设 主元 a 11 ? 0, a 22 ? 0, 消元过程 , a ( n ) nn ? 0 ? a ( k ? 1,2, , n ? 1) ? m ik ? a ? ? ( k ? 1) ( k ) ( k ) a ? a ? m a ( i , j ? k ? 1, k ? 2, ? ij ij ik kj ? (

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