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同济第五版配套矩阵教案.doc.docx

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同济第五版配套矩阵教案.doc.docx

word word文档可编辑 课题 第一章 矩阵及其运算 § 2.1矩阵 § 2.2矩阵的运算 教学内容 矩阵的概念; 矩阵的运算; 教学目标 明确矩阵概念的形成; 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法; 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵; 教学重点 掌握矩阵定义及运算法则 教学难点 矩阵乘法 双语教学 内容、安 排 矩阵: matrix 矩阵运算: matrix operati ons 矩阵的加法:matrix addition 数与矩阵相乘: scalar muctiplicati on 转置矩阵:tran sposd matrix 教学手 段、措施 讲授课(结合多媒体教学) § 2.1矩阵 矩阵是线性代数的主要内容之一, 是处理许多实际问题的重要 数学工具。也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。 一授课内容: 矩阵的概念(给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方阵、 三角阵、对角阵、单位阵的概念) 矩阵运算(相等、加法、数乘、乘法、转置)及运算法则。 二授课过程与说明 1.矩阵的概念 引入:某工厂要购进 4种原料F1, F2, F3, F4 若知道 A1,A2,A3生产这4种原料,到哪买这 4种原料呢,对价格进 行比较 F1 F2 F3 F4 A1 4 5 3 6 A2 5 6 4 5 3行4列表 A3 4 7 5 4 在实际问题中经常遇到由 m n个元素构成的数表 疋义1 : m n个兀素aij (i 1,2丄,m; j 1,2丄,n)排成m行n 列矩形数表 (对教学内容及欲 达目的、讲授方法 加以说明) 组织教学 矩阵与行列式的区ai1冃2 L 弘 a21 a22 L a2n =MM M an1 an 2 L ann 称为一个m n矩阵。 般用大与黑体子母表示:记为 A、B、Co为了表示行和列, 也可简记为 Am n或aij 矩阵中数3ij(i 1,2,L ; j 1,2,L )ij m n J 丿 称为矩阵的第i行第j列兀素。 注意: m=n时是方阵,此时矩阵称为 n阶方阵或n阶矩阵。 bi b2 n=1称为列矩阵或列向量 B 。 M bn m=i称为行矩阵或行向量 A a1, a2,L an。 定义2 :如果两个矩阵有相同的行数,相同的列数,并且对 应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为 A=B。 把有相同行数,相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。 例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 ai1 a12 a13 a14 A a?1 a?2 a?3 a?4 a31 a32 a33 a34 其中aj为工厂向第i店发送第j种产品的数量。 这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵 S b12 a S b22 S b32 b41 b42 其中鬲为第i中产品的单价,bi2为第j种产品单价重量。 例2 四个航线中的单向航线 ① ④ A X. 别? 矩阵是数表,行列 式是数值或代数 和;矩阵的行与列 不等,但行列式的 行与列相等。② ③ 1,从i市到j市有一条单向航线 a ij 0,从i市到j市没有单向航线 则图可用矩阵表示为 0 111 10 0 0 A (aj) j 0 10 0 10 10 § 2.2矩阵的运算 矩阵的运算 一、 矩阵的加法: 定义 1 : A+ B=( aij)mn+( bj ) mn= ( aij + bij)mn a11 5 a12 b|2 L a1n Dn 321 b21 322 b?2 L 32n b2n = MM M 3m1 bm1 am2 “2 L amn bmn 两个同行(m行)、同列(n列)的矩阵相加等于对应位置上的元 素相加(行与列不变) 由于矩阵加法归结为对应位置元素相加, 故矩阵加法满足如下运算 律 1、 交换律A+ B= B+ A 2、 结合律(A+ B)+C= A+ (B+C ) 3、 有零兀A+0=A 4、 有负元 A+(-A)=0 A B A ( B) 二、 数与矩阵的乘法 定义2、给定矩阵A= ( a” ) m n及数k,则称(k a” ) m n为数 ka]1 kaj2 L ka^ ka21 ka22 L ka2n k与矩阵A的乘积。即kA= k aij = M M M kam1 kam2 L kamn 由定义可知 -\=(-1) A A -B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 可行的条件:是同 型矩阵,方法是对 应位置上的元素相 力口。其和与原矩阵 同型 用数乘以 矩阵中 的每一个元素1、 结合律:(kl)A=k(l A)=l(kA) 2、 交换律:kA=Ak 3、 分配律:k (A+ B ) =kA+kB 例1、 设 3 1 2 0 7 5 2 4 A= 1 5 7 9 B= 5 1 9 7 2 4 6 8 3 2 1 6 求满足关系式 A+2X=B的矩阵X ( 3A—2B ) 三、矩阵的乘法 疋义 3 :设 A=(色)ms B =( bij)s n 则乘积 AB=C=( Cj )m n Cij = a^bij ai2b2j aisbsj s = akbj (i=1,2m;j=1,2n) k 1 一般称AB为A左乘B 矩阵乘法可行的条件是 A的列数与矩阵 B的行数相冋。方法: A中的第行与B中的第列对应元素乘积之和 例 2 设 A= ( aij ) 3 s,B = ( bij) 4 l , (Cij ) m 6 且 AB =C , 确定s, m , l的值 1 3 2 1 1 2 例3,设A= B = 1 1 0求AB是否可 2 2 4 1 1 1 以求BA 3 4 2 4 例 4 设 A= B = 求 AB , BA 5 7 5 3 1 1 2 2 + A= B = 求 AB 1 1 2 2 通过以上例题得出以下结论(这是与通常意义下的乘法所不冋的) 1 , AB=0 A,B 不一定为 0 AB不等于BA即矩阵乘法不满足交换律(若成立则说可 交换 AB-AC, B 不等于 C例如 沁 1 2 1 0 1 1 设 A- B - C- A C -B C 但 0 3 0 4 0 0 数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在! ! 定义说明,如果矩 阵A的列数等于矩 阵B的行数,贝U A 与B的乘积C中的 第i行第j列的元 素,等于矩阵A的 第i行兀素与矩阵B 的第j列对应元素 乘积的和。并且矩 阵C的行数等于矩 阵A的行数,矩阵 C…的列数等于矩阵.... B的列数. 矩阵的乘法总让我 们联想是否满足数 的乘法的运算律。 方阵乘法 矩阵的乘法满足以下运算律 结合律:(AB)C=A(BC), (kA)B=k(AB) 分配律:(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC 例5 怎样定义矩阵的 幕? an a12 a13 1 0 0 A= a 21 a22 a23 E= 0 1 0 求 EA 解 EA=A a31 a32 a33 0 0 1 此时AE是否可行?只有当 E为3阶方阵时, 只有单位阵可 与任何矩阵可交换 矩阵的幕: A1 A, A2 A1A1,L ,Ak 1 AkA1, AkAl Ak l,(Ak)1 Akl, 介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵) 1,对角阵 n阶方阵 主元之外都是

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