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第十一章t检验.ppt

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第十一章t检验.ppt


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第十一章 ? t 检验 t 检验主要用于 样本量较小 (例如 n < 30 ), 总体标准差 σ 未知 的 正态分布数据 ,是用于小样本的 两个平均值差异程度 的检验方法。 它是用 t 分布理论来推断差异发生的概率,从而判定两个平均数的 差异是否显著的一种检验方法。 其适用条件是正态分布数据,在实际应用中我们一般会合理地假设样 本总体服从正态分布,进而得以用 t 检验对样本均值进行检验。 ? ? ? t 检验的三种应用: ? 单样本 t 检验 ? 两配对样本 t 检验 ? 两独立样本 t 检验。 t 统计量 ? t 统计量是由样本均值经过标准化转换后得到的,其计算公式为: X ? ? t ? ~ t ? n ? 1 ? S n ? t 分布与总体标准差 σ 无关,而只与自由度( n-1 )有关; ? t 分布的自由度一般为 n-1 ,即样本容量减 1 ,通常用符号 v 或 df 表示。 t 分布 ? t 分布是以 0 为中心的对称分布,故附表中只列出正值,如果算出 的 t 值为负值,可以用绝对值查表。 与正态分布不同, t 分布曲线下面积为 95% 或 99% 的界值不是一 个常量,而是随着自由度 v 的大小而变化的,分别用 t 0.05,v 和 t 0.01,v 表示。 ? ? t α (n-1) 表示自由度为 n-1 时, t 分布中上侧面积为 α 的 t 值。 t 检验及其应用 (一)单样本 t 检验 用于检验单个变量的均值与假设检验值(给定的常数)之间是否 存在差异。 例如,研究某地区高考数学平均分数与去年分数(定值)的差异就是单样本 t 检验。 如果已知总体均值,进行样本均值与总体均值之间差异显著性检 验也属于单样本 t 检验。 例如,研究某地区高考数学平均分数与全省高考数学平均分数的差异。 t 统计量的构造 ? 如果总体服从正态分布,不论样本量多少,样本均值 X 都服从正态 分布,但是当总体方差 σ 2 未知,样本统计量服从 t 分布, 我们 可以用 t 统计量进行检验。 在单样本中, t 统计量公式为: t ? X ? ? 0 ? S n ? 其中,自由度 v = n-1 。 双侧检验 ? 双侧检验 (two-sided test) 的备择假设 H 1 中包含不等号(如: μ≠μ 0 ), 实际上包含两种情况:μ > μ 0 或 μ < μ 0 ,无方向性。 双侧检验只强调差异不情调方向。所提出的假设的问题是是否一样, 相同,有差异等等。 ? 例子(双侧检验) ? 通过以往大规模的调查,已知某地新生儿出生体重均数位 3.30 kg 。 从该地难产儿中最机抽取 35 名新生儿作为研究样本,平均出生体重 为 3.42 kg ,标准差为 0.40 kg ,问该地难产儿出生体重是否与一般 新生儿出生体重不同? ? 本例假定已知总体均数 μ 0 = 3.30 ,但总体标准差 σ 未知。 1. 建立假设,确定显著水平 α 。 H 0 : μ = 3.30 (难产儿出生体重总体均数与一般新生儿出生体重均数相等); H 1 : μ ≠ 3.30 (难产儿出生体重总体均数与一般新生儿出生体重均数不等); α = 0.05 2. 计算检验统计量。 n = 35 , X = 3.42 , S = 0.40 , μ 0 = 3.30 ,其中, v = n-1 = 35 - 1 = 34 代入公式: X ? ? 0 3 . 42 ? 3 . 30 t ? ? ? 1 . 775 S 0 . 40 n 35 3. 查 t 界值表中的双侧界值得: t ? 2 ,v ? t 0 . 05 2 , 34 ? 2 . 032 ? t ? 1 . 775 不能拒绝 H 0 , 尚不能认为难产儿 平均出生体重与一般新生儿的出生 体重不同。 单侧检验 ? 单侧检验( one-sided test )的替换假设 H 1 带有方向性,如:μ>μ 0 或者 μ<μ 0 ,实际中只可能出现一种情况。 具体来说,又分为左侧检验和右侧检验。 左侧检验所提出的假设检验的问题是否低于,差于总体平均数等等。 ? ? ? 右侧检验所提出的假设检验的问题是否高于,优于,超过总体平均数 等等。 拒绝域与替换假设方向相同。 ? H 0 : ? ? ? 0 , H a : ? ? ? 0 H 0 : ? ? ? 0 , H a : ? ? ? 0 或 H 0 : ? ? ? 0 , H a : ? ? ? 0 H 0 : ? ? ? 0 , H a : ? ? ? 0 或 H 0 : ? ? ? 0 , H a : ? ? ? 0 例子(单侧检验) ? 根据大量调查,已知健康成年男子脉搏的均数为 72 次 / 分钟。某医 生在一山区随机调查了 25 名健康成年男子,求得其脉搏均数为 74.2 次 / 分钟,标准差为 6.0 次 / 分钟,能否据此认为该山区成年男子的脉 搏数高于一般? ( 1 )建立假设,确定检验水准 H 0 : μ = μ 0 , 即该山区成年男子的平均脉搏数与一般成年男 子脉搏 数相等 H 1 : μ > μ 0 , 即该山区成年男子的平均脉搏数高于一般成年 男子脉 搏数 单侧 α = 0.05 (2) 选定检验方法,计算检验统计量 t 值 X ? ? 0 74 . 2 ? 72 t ? ? ? 1 . 833 S 6 n 25 v ? n ? 1 ? 25 ? 1 ? 24 ? t 0 . 05 ? 24 ? ? 1 . 7109 (3) 判断结果 t=1.833 > t 0.05 (24)=1.7109 , 拒绝 H 0 ,接受 H 1 ,差异有统计学意义。 可认为该山区健康成年男子脉搏数高于 一般成年男子脉搏数。 两配对样本 t 检验 ? 配对样本:是指一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应的两 个样本。 例如,医生对药物治疗效果进行检验时,将病情相似的病人分为两组, 其中一组按时服用药物,另一组则不服用药物;我们将一个班级的同 学(同质性较强)随机分为两组,一组采用新教案授课,另一组按原 教案上课,最后通过比较分析新教案是否有利于提高学生成绩。 还可以进行自身对比 (self-contrast) 。即将同一受试对象处理(实 验或治疗)前后的结果进行比较。 如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行 比较。 配对样本检验主要用来 判断不同的处理或试验结果是否有差异 。 ? ? ? ? t 统计量的构造 配对样本中, t 检验的步骤为: ( 1 )建立虚无假设: H 0 : μ 1 = μ 2 ,即首先假定两个总体均值是相等的。 d ( 2 )计算 t 统计量,公式为: t ? S d n 其中, d 为配对样本中各元素对应的差值; Sd 为差值的标准差; n 为配对数,即各样本的容量。这里需要注意,配对样本中两个样本的 样本容量必须是相同的。 ( 3 )根据自由度 df = n-1 ,及显著水平 α 查 t 值表,找出规定的 t 理 论值并进行比较。 ( 4 )比较计算得到的

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