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《概率论与数理统计》的韩旭里谢永钦版习题三及答案.doc

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《概率论与数理统计》的韩旭里谢永钦版习题三及答案.doc


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习题三 1.将一硬币抛掷三次, 以 X 表示在三次中出现正面的次数, 以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值 .试写出 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表: 0 X 1 2 3 Y 1 0 C13 i 1 ×1 ×1 = 3 C32 i 1 ×1 ×1 = 3/ 8 0 1 2 2 2 8 2 2 2 1×1×1 = 1 3 0 0 8 2 2 2 8 2.盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球,在其中任取 4 只球,以 X 表示取到黑球的只 数,以 Y 表示取到红球的只数 .求 X 和 Y 的联合分布律 . 【解】 X 和 Y 的联合分布律如表: 0123 Y 0 0 0 1 0 C13 i C12 i C22 = 6 C74 35 2 P( 0 黑,2 红,2 白) 121 = 6 = C3 i C2 i C2 C22 i C22 / C74 = 1 C74 35 35 3.设二维随机变量( X, Y)的联合分布函数为 ? ?sin x sin y, F( x, y) = ? ? 0, ?  C32 i C22 = 3 C33 i C12 = 2 C74 35 C74 35 C32 i C12 iC12 = 12 C33 i C12 = 2 C74 35 C74 35 C32 i C22 = 3 0 C74 35 0 ≤x ≤π,0 ≤y ≤π 2 2 其他 . ? π π π 求二维随机变量( X, Y)在长方形域 < x ≤ , < y ≤ 内的概率 . ?0 ? ? 4 6 3 ? π π π 【解】如图 P{0< X ≤ , < Y ≤ }公式 (3.2) 4 6 3 F ( π π π π π π 4 , )- F( , )- F(0, )+F(0, ) 3 4 6 3 6 π π π π π π = sin i sin - sin isin - sin 0isin + sin 0i sin 6 4 3 4 6 3 2 ( 3- 1). 4 题 3 图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量( X, Y)的分布密度 ? Ae- (3x + 4 y) , x > 0, y > 0, f (x, y) = ? 0, 其他 . ? 求:( 1) 常数 A; 2) 随机变量( X,Y)的分布函数; 3) P{0 ≤X<1, 0≤Y<2}. 【解】( 1) 由 +∞ +∞ f ( x, y)dxdy = +∞ +∞ Ae-(3 x+ 4 y)dxdy = A =1 ∫∫ ∫∫ - ∞ - ∞ 0 0 得A=12 ( 2) 由定义,有 y x F ( x, y) = ∫∫f (u, v)dudv -∞ -∞ ? y y - (3 u + 4v ) dudv ? 0 0 12e = ?∫∫ ?0, ? (3) P{0 ≤X < 1,0 ≤Y < 2}  ?(1- e- 3x )(1- e- 4 y ) ? ?0,  y > 0, x > 0, 其他 = P{0 < X ≤1,0 0, fY( y) = ? 其他 . ? 0, 求:(1) X 与 Y 的联合分布密度; ( 2) P{ Y≤X}. 题 6 图 【解】( 1) 因 X 在( 0, 0.2)上服从均匀分布,所以 X 的密度函数为 ? 1 , 0 < x < 0.2, ? fX ( x) = ?0.2 ? 其他 . ?0, 而 ?5e- 5 y , y > 0, fY ( y) = ? ?0, 其他 . 所以 f (x, y) X ,Y独立 f X (x)i fY ( y) ? 1 - 5 y - 5 y , 0 < x < 0.2且y > 0, ? ×5e ?25e = ?0.2 = ? ?0, ?0, 其他. ? (2) P(Y ≤X ) = - 5y dxdy f ( x, y)dxdy如图 25e ∫∫ ∫∫ y≤x D = 0.2 dx x -5y dy = 0.2 - 5 x + 5)dx ∫ 25e (- 5e 0 0 0 =e-1 ≈0.3679. 7.设二维随机变量( X, Y)的联合分布函数为 ?(1 - e- 4x )(1- e- 2 y ), x > 0, y > 0, F (x, y) = ? 0, 其他 . ? 求( X, Y)的联合分布密度 . ?2 F ( x, y) ?8e- (4 x+ 2 y) , 【解】 f ( x, y) = x y = ? ? ? ?0, 8.设二维随机变量( X, Y)的概率密度为  x > 0, y > 0, 其他. ?4.8y(2 - x), 0 ≤x ≤1,0 ≤y ≤x, f( x,y) = ? 0, 其他 . ? 求边缘概率密度 . +∞ 【解】 f X ( x) = ∫-∞ f ( x, y)d y ? x ?2.4x 2 (2 - x), 0 ≤x ≤1, ? 0 4.8y(2 - x)dy = ?∫ = ? 其他 ?0, ?0, . +∞ f ( x, y)dx fY ( y) = - ∞ ∫ ? 1 4.8y(2 - x)dx ? 2.4 y(3 - 4y + y 2 ), 0 ≤ ≤ = ? = ?∫ 0, 其他. ?0, ? ? 9.设二维随机变量(  题 8 图 X, Y)的概率密度为  题 9 图 ? e- y , 0 < x < y, f(x, y) = ?

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