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2009西安交通大学高等代数考研真题 .pdf

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2009西安交通大学高等代数考研真题 .pdf


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西安交通大学 2009 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码:818 科目名称:高等代数 (20 分)计算行列式:     0  0 0       0 0 0      0 0 D  n       0 0 0      0 0 0      二 (20 分)已知1  (0,1, 0)T ,2  (3, 2, 2)T ,是线性方程组 x  x  2x   1  1 2 3  3x  x  4x  1 1 2 3  ax  bx  cx  d  1 2 3 的两个解,求此方程组的全部解. t 三 (20 )当 取什么值时,下面二次型是正定的: f (x , x , x )  x 2  4x 2  x 2  2tx x  10x x  6x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 四(15 分)设 3 阶实对称矩阵 有特征值 , 的属于特征值-1 A    1,    1 A 1 2 3 的特征向量  (0,1,1)T ,矩阵B  A3  2A  E ,其中 为 3 阶单位阵(下同),问: E 1 (1) 是否为 的特征向量?求 的所有特征值和特征向量; 1 B B (2 ) 求矩阵 . B  a 0 c   x 0 0              五(15 分)设,W   a 0 0 , a,b,c R , W   0 y 0 , x , y , z R  1   2        c b 0  0 z z          (1) 求W  W ; 1 2 (2 ) 记W  W  W ,试求空间W 使得M (R)  W  W (其中M (R) 为实数域 1 2 3 3 3 3 上 3 阶矩阵全体),并说明理由. 六(15 分)设向量组 , , , 线性无关,而 , , , , , 线性相关.证明: 1 2 r 1 2 r 要么  与 中至少有一个可被  , , , 线性表出,要么  , , , , 与 1 2 r 1 2 r  , , , , 等价. 1 2 r 七(15 分)设A 为n  (n  1) 阶常数矩阵,X 为(n  1)  n 阶未知数矩阵.试证明矩 阵方程AX  E 有解的充要条件为r (A)  n . 八(10)若 , 是数域F 上的二维线性空间V (F ) 的基, 和 是V (F ) 上的线  1 2 2 2 性变换,且满足    ,   , (   )     , (   )     1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 试证:   . 九(10)设 和 是两个n 阶实正交矩阵,并且det(A)   det(B) .证明 A B r (A  B)  n . 十(10 分)证明 可与一个对角矩阵相似的充要条件是:对于 的任意特征值 , A A  i 方程组 2 ( E  A) X  0 与( E  A)X  0 i i 是 同 解 的 , 其 中 X  (x , x , , x )n . 需 要 更 多 试 题 请 1 1 n http : //maths - / 高等代数试题分数分布: 行列式:20 分(1); 线性方程组:35 分(2 ); 矩阵:15 分(1); 二次型:20 分(1); 线性空间:15 分(1); 欧几里得空间:10 分(1) 线性变换:35 分(3 )

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