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欧式权证定价.ppt

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欧式权证定价.ppt


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研习内容 一、二叉树模型 1.单步二叉树模型 2.多步二叉树模型 二、Black-Scholes模型 1.股票价格变动 2.二叉树方法到B-S模型 3.B-S期权定价模型 三、B-S期权定价模型的检验 四、小结 一、二叉树模型 - 单步 一、二叉树模型 - 单步 令到期时组合Ⅰ和组合Ⅱ的价值相等,有 股票N=0.5股 初始资金B=42.45美元 显然组合Ⅰ和组合Ⅱ在期初的价值也应相等,否则存在套利机会 因此,看涨期权的价值 c = N*S-B=0.5*100-42.45=7.55美元 股票 期权 一、二叉树模型 - 单步 概率的作用 上述分析没有使用概率的概念,即没有考虑股票价格升降的可能行。 事实上,在风险中性的假设下,所计算的期权价格同上述无套利条件下的结果是一样的。 同上述分析的推导,用字母代替数字,可得期权价格 c={(R-D)/(U-D)*c上+ (U-R)/(U-D)* c下}/R …(3) 其中R=1+r c上、c下分别为股价上涨和下跌时期权的价格 风险中性条件下: 股价上升的概率p上=(R-D)/(U-D) p下=(U-R)/(U-D) 对上文的例子,我们有p上=(1.06-0.9)/(1.1-0.9)=0.8, p下=0.2 期权价格 C=(0.8*10+0.2*0)/1.06=7.55美元 结论:期权的价值等于在风险中性假设下,期权到期时期望的盈利以无风险利率贴现后的价值。 一、二叉树模型 - 单步 单步二叉树模型的缺陷 1、仅适用与单个时期,我们需要能够估价多期后到期的期权。 2、关于股价变动的假设不现实,显然我们无法知道股价在一个时期内如何变动。 试图改进这些缺陷! 一、二叉树模型 – 多步 多步二叉树模型 n个时期,到期时有2^n种可能的股票价格状态。 考虑n个时期内股价有j期上升,n-j期下降的情况, 1、到期股价为 , 因此期权的价值为 MAX(0, -X) 2、每次股价上升和下降的事件是相互独立的,因此股价有j期上升, n-j期下降的概率为 3、股价有j期上升,n-j期下降的次序显然不止一种,其不同的次序数 可用组合数来表达,即 综合1、2、3,再j从0遍历到n,最后以无风险利率R贴现,就得到看涨期权到期期望损益的现值,这也就是期权的价格公式: 一、二叉树模型 – 多步 多步二叉树模型的缺陷 1、n=20时,2^20 ) 100万,即有超过100万种股票价格的结果,计算太繁琐。 2、虽然通过调整时期的长度,股票价格变动和利率,可以使模型尽可能的贴近股票市场的真实情况。然而股价如果连续变动,将有无限个时期需要考虑,显然我们无法对无限个时期计算二叉树模型的价值。 我们需要其它的方法! 二、Black-Scholes模型 -股价变动 为什么要研究股票价格的变动过程? 期权是标的资产的衍生工具,其价格波动的来源就是标的资产价格的变化,期权价格受到标的资产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价法,即相对于证券价格的价格,因而要为期权定价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时,未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化,在现实中,资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。 二、Black-Scholes模型 -股价变动 股票价格变动 任何股价模型都是偏离股价变动的真实描述的; 建立一个股价变动的模型是可能的。 一个描述股票价格行为最广泛使用的模型: 其中, 为预期收益率, 为股票价格波动率 为服从标准正态分布N(0,1)的随机抽样值 二、Black-Scholes模型 -股价变动 两个股票价格路径 二、Black-Scholes模型 -股价变动 股价变动模型回顾1 模型有时也称几何布朗运动。其离散形式为 △S为短时间△t后股票价格S的变化,显然,它服从正态分布。 较长的时间t后,股票的价格变化△St服从正态分布吗? 很遗憾, △St不服从正态分布! 能找到△St服从什么分布吗? 二、Black-Scholes模型 -股价变动 股价变动模型回顾2 幸运的是,我们可以找到△St的分布情况,但这需要引入一个 伊藤定理:若变量x遵循伊藤过程,即 ,其中 是一个标准布朗运动。则变量x和t的函数G将遵循如下过程 利用伊藤定理,我们来推到lnS遵循的过程。令G=lnS,有 从而有 零时刻G的值为lnS,t时刻G的值为lnSt,显然G服从正态分布,且 二、Black-Scholes模型 -股价变动 股价变动模型回顾3 事实上,股票价格S遵循几何布朗运动的实质,就是股价S的对数服从正态分布。下面我们用这点来证明,适当选取参数,二叉树模型的极限就是几何布朗运动。 实际股价行为的研究表明股价的对数确实接近正态分布,因此我们对股价的假设是一个很好的近似。另一方面,它的优势是在数学上是可处理的,可以直接推出欧式看涨期权价值的解。 二、Black-Scholes模型 -二叉树到BS 二叉树模型:假定在每个 时间里,股价或以概率p上涨u倍,或以概率(1-p)下跌d倍,选取: 可以证明,当 趋近于0时,相应的价格服从对数正态分布,即股价遵循几何布朗运动。 证明思路:记第i期股价上涨,则Yi=1,否则Yi=0。然后写出t时刻的股价St,lnSt,当 趋近于0时,根据中心极限定理,推出lnSt服从正态分布。再算出它的期望和方差,可知它的期望和方差与我们上面假定的几何布朗运动的期望和方差完全一样。 二、Black-Scholes模型 -BS公式 BS微分方程的推导 假设: 1、证券价格遵循几何布朗运动,即 和 为常数; 2、允许卖空标的证券; 3、没有交易费用和税收,所有证券都是高度可分的; 4、衍生证券有效期内标的证券没有红利支付; 5、不存在无风险套利机会; 6、证券交易是连续的,价格变动也是连续的; 7、衍生证券有效期内,无风险利率r为常数。 二、Black-Scholes模型 -BS公式 BS微分方程的推导 假设f是依赖于S的衍生证券的价格,构造证券组合: -1份衍生证券,+ 份股票 显然,组合证券的价值 利用几何布朗运动和伊藤定理的离散形式,得到 时间后证券组合价值的变化 这个方程不含 随机项,因此它肯定等于组合的短期无风险收益,否则就存在套利机会,即

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