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线性代数(矩阵).pptx

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线性代数(矩阵).pptx


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线性代数(矩阵);1. 线性方程组;对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.;四城市间的航班图情况常用表格来表示:;; 由 个数排成的 行 列的数表;简记为;例如;例如;3)元素全为零的矩阵称为零矩阵, 阶零矩阵记作 或 .;(5) 方阵;定义 两个矩阵A = (aij)与B = (bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即;定义 设 A = (aij),B = (bij),都是 m×n 矩阵,则矩阵A和B的和记作A+B ,规定为;矩阵加法的运算规律;2. 矩阵数乘;二、矩阵乘法;例1;故;矩阵乘法的运算规律;注意 矩阵乘法一般不满足交换律,即 AB≠BA;例3 计算下列乘积:;=(;定义 n个变量x1, x2, … , xn与m个 y1, y2, … , ym变量之间的关系式;系数矩阵;例5 已知两个线性变换;第三节 特殊矩阵;转置矩阵的运算性质;定义 设 A为n阶方阵,如果 AT = A ,则称 A 为对称矩阵。 如果 AT = – A,则称 A 为反对称矩阵。;3、方阵的行列式;第四节 逆矩阵;定义 对于 n 阶矩阵A, 如果存在一个n阶矩阵B 使得;例 设 求 A 的逆矩阵。;又因为;定义 设 A为n阶方阵,A 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵;定理 方阵 A 可逆的充要条件是 |A|≠0,且当A可逆时,;逆矩阵的运算性质;(5) 若 A 可逆, 则AT也可逆,且 (AT )–1 = (A–1 )T .;例3 设;第五节 分块矩阵;例;二、分块矩阵的运算规则;(4) 设 A 为m×l 矩阵, B 为l×n 矩阵,分块成;(5) 设 A 为 n 阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵。即;;则 A 可逆当且仅当 Ai 都可逆,且有;例1 设;;又;于是;例2 设;特别的,如果 n 阶方阵 P 可以分块成;第六节 矩阵的初等变换;解;;于是解得;小结:;3. 上述三种变换都是可逆的.;  因为在上述变换过程中,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,未知量并未参与运算.;定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:;定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换.;用矩阵的初等行变换解方程组 (1) :;;;其中 c 为任意常数 .;特点:;行阶梯形矩阵再经过初等列变换, 可化成标准形.;特点: F 的左上角是一个单位矩阵, 其余元素全为零.;定义 由单位矩阵 E 经???一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。;;;;;;3、以数 k≠0 乘某行(列)加到另一行(列)上去;定理1 设 A 是一个 m×n 矩阵,对 A 施行一次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。;定理2 任意 m×n 矩阵 A,一定存在有限个 m 阶初等矩阵 P1, P2, … , Ps 和 Q1, Q2, … , Qt ,使;定理3 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A 可以表示有限个初等矩阵之积。; 解;;;例2 求矩阵 X,使 AX = B,其中;;;;解;;;第七节 矩阵的秩;定义2 当 A≠0 时, A 中非零最高阶子式的阶数, 称为矩阵 A 的秩, 记为 R(A); 当 A = 0 时, 规定 R(A) = 0。;例2;例3;问题:经过变换矩阵的秩变吗?;对情形 (3) ,; 经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.;设 A 经初等列变换变为 B ,;初等变换求矩阵秩的方法:;;由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A) = 3 .;定义3 设 A 为 m×n 矩阵, 如果 R(A) = min {m, n}, 称 A 为满秩矩阵;如果 R(A) ( min {m, n}, 称 A 为降秩矩阵。;三、线性方程组的解;充分性. 设 R(A) = r ( n;定理5 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 B = (A, b)的秩。;并令 n – r 个自由未知量全取0,;小结;例6 求解非齐次线性方程组;例7 求解非齐次方程组的通解;由于 R(A) = R(B) = 2, 故方程组有解,且有

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