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论线性规划企业利润最大化[共17页].doc

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论线性规划企业利润最大化[共17页].doc


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PAGE 1 {财务管理利润管理}论线 性规划企业利润最大化 引言 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问 题,它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的 线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题 不能用初等方法解决。线性规划问题的难点表现在三个方面:一是将实际问题抽 象为线性规划模型;二是线性约束条件和线性目标函数的几何表征;三是线性规 划最优解的探求。 线性规划的发展史 法国数学家 J.-B.-J.傅里叶和 C.瓦莱-普森分别于 1832 和 1911 年独 立地提出线性规划的想法,但未引起注意。 1939 年苏联数学家 Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》 一书中提出线性规划问题,也未引起重视。 1947 年美国数学家 G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规 划问题的通用方法──单纯形法,为这门学科奠定了基础。 1947 年美国数学家 J.von 诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的 研究领域,扩大了它的应用范围和解题能力。 1951 年美国经济学家 T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域,为此与康 托罗维奇一起获 1975 年诺贝尔经济学奖。 50 年代后对线性规划进行大量的理论研究,并涌现出一大批新的算法。例 如,1954 年 C.莱姆基提出对偶单纯形法,1954 年 S.加斯和 T.萨迪等人解 决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题,1956 年 A.塔克提出互补松弛 定理,1960 年 G.B.丹齐克和 P.沃尔夫提出分解算法等。 线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规 划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展,出现了许多线性 规划软件,如 MPSX,OPHEIE,UMPIRE 等,可以很方便地求解几千个变量的 线性规划问题。 1979 年苏联数学家 L.G.Khachian 提出解线性规划问题的椭球算法,并证明 它是多项式时间算法。 1984 年美国贝尔电话实验室的印度数学家 N.卡马卡提出解线性规划问题的新的 多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为 5000 时只要单纯 形法所用时间的 1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50 年代后线性规划 的应用范围不断扩大。 随着经济的发展,关于线性规划在企业中的应用越来越广泛。林海明早在 1996 年就立足于较强的普及性,从经济常识的角度来认知线性规划问题的解法, 初步论述这一问题;熊福力、张晓东等在 2004 年作了《基于利润最大化的油田 开发非线性规划》一文,他们根据油田开发的实际情况,将油田和利润细分为几 个部分,以获得最大利润为目标,建立了油田开发的数学模型;吴海华和王志江 在《关于影子价格作为企业资源配置依据的探讨》根据线性规划模型资源影子价 格的经济意义,讨论了在企业以收入最大化和利润最大化两种情况下,影子价格 作为企业资源配置依据时存在的问题。胡徐胜、刘娟和汪发亮在《最优控制在汽 车企业利润最大化中的应用》一文中从汽车企业职工结构角度出发,研究在企业 提办事工薪水总量不超过某一限定值的情况下,如何分配汽车企业中普通职工与 高级职工的比例来达到实现汽车企业利润最大化的目标。 随着经济社会的发展,线性规划在资源配置和企业管理方面发挥着独特的作 用。在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,从各种限 制条件的组合中,通过对实际数据的分析处理和数学模型的建立,选择出最为合 理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果,给出了更多的决策参考信 息。这也将成为未来企业生产与管理的普遍方法。 不单如此,企业现如今更着重于对各种条件组合中限制条件作局部调整以达到对 获得利润的一种控制,而这恰恰也是线性规划问题中灵敏度分析所研究的对象。 本文共分为四章。在第一章,介绍本文的背景和线性规划的发展状况;在第 二章,介绍线性规划本身和一系列相关性质问题及企业利润最大化数学模型的基 础知识;在第三章,介绍利用线性规划建立企业利润最大化数学模型;最后,求 解模型最优解。 第 2 章线性规划问题 本章主要介绍线性规划本身和一系列相关性质问题,并相应举出一些简单的例子 更好的阐述了线性规划问题。本章主要借鉴于胡运权、郭耀煌等编著,清华大学 出版社出版的《运筹学教程(第二版)》的内容。 2.1 线性规划模型及标准型 2.1.1 线性问题的数学模型 例 1:美佳公司计划制造Ⅰ,Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设 备 A,B 的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获 利情况,如表 1 所示。问该公司应制造两种家电各多少件,使获取的利润为最大。 表 1 项目 Ⅰ 0 Ⅱ 5 每天可用能力 设备 A(h) 设备 B(h) 调试工序(h) 利润(元) 15 24 3 6 2 1 1 2 1 对上例用和分别表示美佳公司制造家电Ⅰ和Ⅱ的数量。这时此例数学模型可表示 为 由此例可以看出,规划问题的数学模式型由三个要素组成:⑴变量,或称决策变 量,是问题中要确定的未知量,它用以表明规划中的用数量表示的方案、措施, 可由决策者决定和控制;⑵目标函,它是决策变量的函数,按优化目标分别在这 个函数前加上或;⑶约束条件,指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制, 通常表达为含决策变量的等式或不等式。 假定线性规划问题中含个变量,分别用()表示,在目标函数中的系数为(通 常称为价值系数),的取值受项资源的限制,用()表标第种资源的拥有量,用 表示变量取值为 1 个单位时所消耗或含有的第种资源的数理量,通常称为技术系 数或工艺系数。刚上述线性规划问题的数学模型可表示为: 上述模型的简写形式为 用向量形式表达时,上述模型可写为: 式中;;; 用矩阵和向量形式来表示可写为: 称为约束方程组(约束条件)的系数矩阵。 变量的取值一般配为非负,即;从数学意义上可以有。又如果变量表示第种产品 期内产量相对于前期产量的增加值,则的取值范围为,称取值不受约束,或无约 束。 2.1.1.2 线性规划问题的标准形式 线性规是问题的标准形式如下: 标准形式的线性规划模型中,目标函数为求极大值,约束条件全为等式,约束条 件右端常数项全为非负值,变量的取值全为非负值。对不符合标准形式的线笥规 划问题,可分别通过下列方法化为标准形式。 1)目标函数为求极小值,即为: 因为求等价于求,令,即化为: 2)约束条件的右端项时,只需将等式或不等式两端同乘(-1),则等式右端项必 大于零。 3)约束条件为不等式。当约束条件为“≤”时,如,可令,得,显然。当约束 条件为“≥”时,如有,可令,得,。和是新加上去的变量,取值均为非负,加 到原约束条中去的变量其目的是使不等式转化为等式,其中称为松弛变量,一般 配称为剩余变量,但也有称松弛变量的。松弛变量或剩余变量在实际问题中分别 表示未被充分利用的资源和超出的资源数,均未转化为价值和利润,所以引进模 型后它们在目标函数中的系数均为零。 4)取值无约束的变量是。如果变量代表某产品当年计划数与上一年计划数之差, 显然的以值可能是正也可能是负,这时可

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