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1.1.7 线性规划标准型.pdf

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§1.7 线性规划标准型  线性规划标准形式是人为规定的,在本课程中我 们规定标准型如下: max z = c x + c x + … + c x (1.1) 1 1 2 2 n n s. t. a x + a x + …+ a x =b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + …+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 … … … … (1.2) a x + a x + …+ a x =b m1 1 m2 2 mn n m x ,x ,…,x  0 (1.3) 1 2 n b ≥0,b ≥0,…,b ≥0 1 2 m 即:1. 目标函数极大化;2. 所有决策变量非负; 3. 约束条件均由等式表示;4. 右端常数项均为非负. 1 用求和符号表示 n max z  c x j j j 1 n a x b i 1, 2,..., m ij j i j 1 x j  0 j 1, 2,..., n b  0 i 1, 2, m i 2 用向量表示: max z  CX n P x  b j j j1 x j  0 j 1,,n 其中: C  ( c ,c ,,c ) 1 2 n x a b 1 1j 1 x a b X= 2 P = 2j b= 2 ≥0 j … … … x a b n mj m 向量P 对应的决策变量为x 。 j j 3 用矩阵描述为: max z =cx Ax = b x  0 其中 a … a … a 11 12 1n b 1 a … a … a 21 22 2n b A= … … = (P ,P ,···,P );b = 2 ≥0 1 2 n … a … a …a m1 m2 mn b m C=(c , c , …, c ) ;x=(x , x , …, x ) T 1 2 n 1 2 n 称A 为约束条件的m ×n阶系数矩阵,一般A 的秩为m 。 4 LP标准型式的转化 ① 将目标函数最小化变为目标函数最大化 min z = cx → max w = -cx ,其中w = -z ; ② 将不等式约束变为等式约束 n n a x  b  a x  x b x  0 (松弛变量) ij j i ij j mi i mi j 1 j 1 n n a x  b  a x  x  b x  0 (剩余变量) ij j i ij j mi i mi j1 j1 ③ 将自由变量或负变量变为非负变量     若x为自由变量,则可 x  x  x , x  0, x  0 j j j j j 若x≤0 ,则可令 x  x , x   0 j j j 5 例1.3 将上节例1.1数学模型化为标准型 。 max z = 2x + 3x 1 2 x + 2x  8 1 2 4 x 16 1 4x 12 2 标准型: x ,x 0 1 2 max z = 2x + 3x + 0 x + 0 x + 0 x 1 2 3 4 5 x + 2 x + x = 8 1 2 3 4 x + x =16 1 4 4 x + x =12 2 5 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4

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