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养老保险问题——非线性方程求根的数值解法.docx

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养老保险问题——非线性方程求根的数值解法.docx


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第四章养老保险问题 非线性方程求根地数值解法 4.1养老保险问题 4.1.1问题地引入 养老保险是保险中地一种重要险种,保险公司将提供不同地保险方案以供选 择,分析保险品种地实际投资价值?也就是说,如果已知所交保费和保险收入,则 按年或按月计算实际地利率是多少?或者说,保险公司需要用你地保费至少获得 多少利润才能保证兑现你地保险收益? b5E2RGbCAP 4.1.2模型分析 假设每月交费200元至60岁开始领取养老金.某男子25岁起投保,届时养 老金每月2282元;如果其35岁起保,届时月养老金1056元.试求出保险公司为 了兑现保险责任,每月至少应有多少投资收益率?这也就是投保人地实际收益 率.p1EanqFDPw 4.1.3模型假设 这应当是一个过程分析模型问题.过程地结果在条件一定时是确定地.整个 过程可以按月进行划分,因为交费是按月进行地?假设投保人到第k月为止,所交 保费及收益地累计总额为Fk,每月收益率为r,用p、q表示60岁之前每月所交 地费用和60岁之后每月所领取地费用,N表示停交保险费地月份,M表示停领养 老金地月份.DXDiTa9E3d 4.1.4模型建立 在整个过程中,离散变量Fk地变化规律满足: 「“丸计 p—0,1,.”1 二F( r)—q,k 二 N,...,M -1 在公式<4.1.1 )中Fk实际上表示从保险人开始交纳保险费以后 ,保险人账户上 地资金数值.我们关心地是,在第M月时,Fm能否为非负数?如果为正,则表明 保险公司获得收益;若为负,则表明保险公司出现亏损;当为零时,表明保险公 司最后一无所有,所有地收益全归保险人,把它作为保险人地实际收益.从这个分 析结果来看,引入变量Fk,很好地刻画了整个过程中资金地变化关系 .特别是引 入收益率r ,虽然它不是我们所求地保险人地收益率 ,但从问题地系统环境中来 看,必然要考虑引入另一对象一一保险公司地经营效益,以此作为整个过程中各 量变化地表现基础.RTCrpUDGiT 4.1.5模型求解 在(4.1.1)中两式,取初始值F。=0,我们可以得到:TOC \o &1-5& \h \z k p k Fk =Fo(1 r) [(1 r) -1], 0,1,2,.., N r k _n q k_N Fk 二Fn(1 r) -M[(1 r)小-1],k = N 1,…,M r 再分别取,k = N ,和k = M,并利用Fm = 0可以求出: (1 ? r)M -(1 -)(1 r)M_N - =0 P P 它是一个非线性方程.因此求解该模型,就转换为一个求非线性方程地问题. 众所周知,代数方程求根问题是一个古老地数学问题 .早在16世纪就找到了 三次、四次方程地求根公式.但直到19世纪才证明了 n_ 5次地一般代数方程是 不能用代数公式求解地,因此需要研究用数值方法求得满足一定精度地代数方程 地近似解.5PCzVD7HxA 在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程地问题 .正因为非线 性方程求根问题是如此重要地基础,因此它地求根问题很早就引起了人们地兴趣 并得到了许多成熟地求解方法?下面我们介绍非线性方程地基本概念与重要解 法.jLBHrnAlLg 4.2非线性方程求根地数值方法 4.2.1根地搜索相关定义 定义4.2.1设有一个非线性方程f x =0,其中f(x)为实变量x地非线性函数. (1)如果有x”使f (x J =0,则称x”为方程地根,或为f x地零点. (2)当f x为多项式,即 f(x)二anxn an4xnJ dh ax a0, an = 0 则称f(x) =0为n次代数方程.当f(x)包含指数函数或者三角函数等特殊函数时 则称f(x) =0为特殊方程. (3)如果 f(x) =(x-x”)mg(x),其中 g(x”)= 0.m为正整数,则称 x 为 f(x) =0地 m 重根.当m =1时,称x为f (x) = 0地单根. 定理421设f(x) =0为具有复系数地n次代数方程,则f(x) =0在复数域上恰有 n个根(r重根计算r个)?如果f(x) =0为实系数方程,则复数根成对出现,即当: :-i 卩.U0 为 f(X)=0 地复根,则〉-T-亦是 f(X)=0 地复根.XHAQX74J0X 定理 4.2.2 设 f (x)在[a, b ]连续,且 f(a) f(b) =:: 0 ,则存在 x,i a, b,使得 f (x ) = 0, 即f x在(a, b)内存在零点. 4.2.2逐步搜索法 对于方程f x =0,x? !a,b],为明确起见,设f a (0, f(b) 0,从区间左端点 x0二a出发按某个预定步长h (如取h二 口,N为正整数),一步一步地向右跨, N 每跨一步进行一次根地搜索.即检查节点x^ a kh上地函数值f xk地符号,若 f xki=0,则xk即为方程解;若f x^ i)0,则方程根在区间[人_|,兀]中,其宽度为 h 丄DAYtRyKfE 例421考察方程f x =x-x-1=0 由于f 0 ]=-1 ::: 0, f 2=5 0则f x在0,2内至少有一个根,设从x = 0 出发,以h = 0.5为步长向右进行根地搜索.列表记录各节点函数值地符号 ,如表 4.2.1所示.可见方程在1.0,1.51内必有一根 .Zzz6ZB2Ltk 表421 f x地符号 x 0 0.5 1.0 1.5 f (x)地符号 - - - + 易见,此方法应用关键在步长 h地选择上.很明显,只要步长h取得足够小,利 用此法就可以得到任意精度地根,但h缩小,搜索步数增多,从而使计算量增大,用 此方法对高精度要求不简便.dvzfvkwMI1 4.2.3二分法 对非线性方程: f x =0 4.2.1 其中f x在la,b 1上连续且设f a f b ( 0,不妨设f x在l.a,b丨内仅有一个零 占 八、、? 求方程(421>地实根x地二分法地过程,就是将la,b ]逐步分半,检查函数值 符号地变化,以便确定包含根地充分小区间. 二分法地步骤如下:记a =a,d =b 第1步: 分半计算k=1 ,即将[ai,bi]分半.计算中点xi二及f Xi .若 f(q) .f(xj cO ,则根必在固必圭^2,b2内,否则必在[X,b^ [a2 b2内 < 若 f(X)=:O,则x:=x),于是得到长度一半地区间[a2,b2]含根,即f (a?) f?)::0,且 1 b2 -a2 (b] -q ) .rqyn14ZNXI 2 第k步:<*分半计算)重复上述过程. 设已完成第1步…第k_1步,分半计算得到含根区间 [a1 b 1 a [b,刊]二 ad&,,]且 满 足 f (aj f 4) ::: 0 , 即 x” ? [ak,bk] ,bk-ak 二 f/b-a),则第 k 步地分半计算:x^ ak bk ,且有: 2 2 x—Xk 兰^2^=*2—a) (4.2.2) 确定新地含根区间[編1,bk 1],即如果f (aj f(Xk)::: 0 ,则根必在 1 血,兀]丄[ak 1,d 1〕内,否则必在 风,0]丄瓯」「1]内,且有:bk ak 1 k(b-a). 2 总之,由上述二分

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