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高等数学 竞 赛试题.doc

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高等数学 竞 赛试题.doc


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TOC \o &1-3& \h \z \u 第九章 往年竞赛试题及参考答案 1首届中国大学生数学竞赛试卷(非数学类,2009)及解答 12009年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参考答案 32003电子科技大学高等数学竞赛试题及参考解筨 4第十六届2005年北京市大学生数学竞赛甲、乙组试题解答 72007浙江省高等数学工科类(微积分)竞赛试题 9电子科技大学2004年高等数学竞赛试题参考解答 112006年厦门大学高等数学竞赛(理工类)试题 142007年厦门大学高等数学竞赛(理工类)试题 17第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答 20第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 22 第九章 往年竞赛试题及参考答案首届中国大学生数学竞赛试卷(非数学类,2009)及解答一、填空(每小题5分,共20分) (1) 计算 ,其中区域由直线 与两个坐标轴所围成三角形区域。 (2)设是连续函数,满足,则 。 (3)曲面平面的切平面方程是 。 (4)设函数由方程确定,其中具有二介导数,且,则 。 答案:,,, 二、(5分)求极限,其中是给定的正整数。() 三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求 并讨论在处的连续性。(,在处的连续) 四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试求:(1) ;(2)。 五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程。 六、(10分)设抛物线过原点,当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为。试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。 七、(15分)已知满足(为正整数),且,求函数项级数之和。 八、(10分)求时,与等价的无穷大量。 2009年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参考答案 一、计算题(每小题12分,满分60分) 1.求极限 2.计算不定积分 3.设,求 4.设,,求此曲线的拐点 5.已知极限,求常数的值二、(满分20分)设,证明:当时, 三、(满分20分)设,求的最小值 四、(满分20分) = 五、(满分15分)设,证明: (1)为偶函数;(2) 六、(满分15分)设为连续函数,且,证明在[上方程有唯一解 2003电子科技大学高等数学竞赛试题及参考解筨 一、选择题(40分) 1. 设,且,则( ) (A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零; (C) 不一定存在; (D) 一定不存在. 2. 设是连续函数,的原函数,则( ) (A) 当为奇函数时,必为偶函数; (B) 当为偶函数时,必为奇函数; (C) 当为周期函数时,必为周期函数; (D) 当为单调增函数时,必为单调增函数. 3. 设,在内恒有,记,则有( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) 不确定. 4. 设有连续导数,且,,当时,是同阶无穷小,则( ) (A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1. 5. 设,则在点( ) (A) 不连续; (B) 连续但偏导数不存在;(C) 可微; (D) 连续且偏导数存在但不可微. 6. 设,则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为( ) (A) ; (B) 3, 11; (C) ; (D) . 7. 设是包含原点在内的两条同向闭曲线,的内部,若已知(k为常数),则有( ) (A) 等于k; (B) 等于; (C) 大于k; (D) 不一定等于k,与L2的形状有关. 8. 设在处收敛,则在处( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与an有关. 9. 设A为矩阵,B为矩阵,若,则齐次线性方程组( ) (A) 无解; (B) 只有零解; (C) 有非零解; (D) 可能有解,也可能无解. 10. 设是空间个相异的点,记,则共面的充分必要条件是( ) (A) 秩(A)=1; (B) 秩(A)=2; (C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3. 二、(8分)设,试确定、的值,使都存在.三、(8分)设的一个原函数,且,求.四、(10分)设,S为的边界曲面外侧,计算五、(10分)已知向量组线性无关,向量都可用表出,即 求证:线性相关的充分必要条件是矩阵的秩.六、(10分)设n阶实对称矩阵的秩为r,且满足(称A为幂等矩阵),求: (1)二次型的标准形; (2)行列式的值,其中E为单位矩阵.七、(10分)已知,,,…,,…. 求证:(1)数列收敛;(2)的极限值a是方程的唯一正根. 八、(12分)设在单位圆上有连续的偏导数,且在边界上取值为零,求证:, 其中D为圆环域:九、(12分)如图所示,有一圆锥形的塔,底半径为R,高为,现沿塔身建一登上塔顶的楼梯,要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为,楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程. 第十六届2005年北京市大学生数学竞赛甲、乙组试题解答 填空题(每小题2分,共20分) 2007浙江省高等数学工科类(微积分)竞赛试题 一、计算题(每小题12分,满分60分) 1.求 2.求 3.求p的值,使 4.计算,(a)0,b)0) 5.计算,其中S为圆柱面,(0z1) 二、(满分20分) 设 求(1) (2) AC A C B D E 有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点,为的中点,现将纸卷成圆柱形,使与重合, 与重合,并将圆柱垂直放在xoy平面上,且B与原点重合,D落在轴正向上,此时,求: (1)通过,两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程; (2)此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。 四、(满分20分) 求函数在的最大值、最小值。 五、(满分15分) 设幂级数的系数满足,,n=1,2,3…,求此幂级数的和函数。 六、(满分15分) 已知二阶可导,且,,R (1)证明 , R (2)若,证明R 电子科技大学2004年高等数学竞赛试题参考解答 一、 选择题(40分) 1. 下列命题中正确的命题有几个? (1)无界变量必为无穷大量; (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量; (3)无穷大量必为无界变量; (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个; (B) 2个; (C) 3个; (D) 4个. 2. 设 , 则是间断点的函数是 (A) ; (B) ; (C) ; (D) .. 3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”,则 (A) 1; (B) ; (C) ; (D) . 4. 设连续,当时,与为等价无穷小,令, , 则当时,的 (A) 高阶无穷小; (B) 低阶无穷小; (C) 同阶无穷小但非等价无穷小;(D) 等价无穷小. 5. 设在点的某邻域内连续,且满足 则在点处 (A) 取极大值; (B) 取

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