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宁夏六盘山高级中学2020届高三数学下学期第3次周练卷文.pdf

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宁夏六盘山高级中学 2020 届高三数学下学期第 3 次周练卷 文 时间:2020年 4 月 13 日 下午 16:25—17:05 命题教师: 班级:___________姓名:___________ 得分:___________ 1.如图,A 是B CD 所在平面外一点,E ,F 分别是B C, AD 的中点 (1)求证:直线EF 与BD 是异面直线。 (2)若A C  BD , A C  BD ,求EF 与BD 所成的角。 2. 如图,一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图,在正方体中,设B C 的中 点为M ,GH 的中点为N (1)请将字母M , G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)过点M , N ,H 的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比。 3.如图,在四面体 ABCD 中,BA=BC,∠BAD=∠BCD=90°. (1)证明:BD⊥AC; (2)若∠ABD=∠ABC=60°,AB=2, 求四面体 ABCD 的体积。 4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点. 求证: (1)PA⊥BC; (2)BF∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 答案 1. (1)用反证法:假设直线EF 与BD 不是异面直线,则EF 与BD 共面, 从而DF 与BE 共面,即 AD 与B C 共面,这与 A 是B CD 所在平面外一点矛盾, 所以假设错误,直线EF 与BD 是异面直线。 (2)取CD 的中点G ,连接E G,F G , 因为E ,F 分别是B C, AD 的中点 1 1 所以E G 平行且等于 BD ,F G 平行且等于 A C 2 2 所以FE G 就是EF 与BD 所成的角或其补角。 又因为A C  BD , A C  BD 所以F G  E G,F G  E G 所以FE G  45 2.解:(1)见图中 (2)连接GM ,MH OM // NH , OM  NH 过点M , N ,H 的平面就是平面GMH 它将正方体分割为两个同高的棱柱,高都是GH 底面分别是四边形BM GF 和三角形M GC ,其面积比为 3:1 所以这两部分的体积比为 3:1 3.(1)证明 如图,作 Rt△ABD 斜边 BD 上的高 AE,连CE. ∵BA=BC,BD=BD,∠BAD=∠BCD=90°, ∴Rt△ABD≌Rt△CBD. 于是可得 CE⊥BD. 又 AE ∩CE=E, ∴BD⊥平面 AEC, ∵AC⊂平面 AEC, ∴BD⊥AC. (2)在 Rt△ABD 中,BA=2,∠ABD=60°, ∴BD=4,AE= 3,CE= 3, 又∵BA=BC,∠ABC=60°, ∴AC=BC=BA=2, ∴可求得△AEC 的面积 S△AEC = 2 又 BD⊥平面 AEC,BD=4 1 1 4 2 3 ∴四面体ABCD 的体积V= ·S△ACE ·BD=  2 4  3 3 4.证明  (1)因为平面PAD⊥底面 ABCD,且PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD., 因为BC⊂平面 ABCD, 所以 PA⊥BC; (2)取 PD 中点为G,连接 FG,AG. 因为F 是 PC 的中点,E 为 CD 的中点AB∥CD,CD=2AB,, 所以 AB∥DE,且 AB=DE;FG//DE,FG=DE 所以四边形 ABFG 为平行四边形. 所以 BF∥AG,又因为 BF⊄平面 PAD,AG⊂平面 PAD, 所以 BF∥平面 PAD. (3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD. 因为E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. 又因为 CD⊥BE,EF ∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD.

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