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知识讲解 基本不等式 基础.doc

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基本不等式 编稿:张希勇 审稿:李霞 【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明. 2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一、基本不等式 1.对公式222abab?? 及2abab??的理解. (1)成立的条件是不同的:前者只要求,ab都是实数,而后者要求,ab都是正数; (2)取等“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当ab?时取等”. 2.由公式222abab?? 和2abab??可以引申出常用的常用结论 ①2baab??(,ab同); ②2baab???(,ab异); ③222(0,0)1122ababababab???????? 或222()(0,0)22abababab?????? 要点诠释: 222abab?? 可以变形为:222abab?? ,2abab?? 可以变形为:2()2abab??. 要点二、基本不等式a+bab2≤的证明 方法一:几何面积法 如图,在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形 . 设直角三角形的两条直角边长为a、b ,那么正方形的边长为22ab?.这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形ABCD的面积为22ab?.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以:222abab??.当直角三角形变为等腰直角三角形,即ab?时,正方形EFGH缩为一个点,这时有222abab??. 得到结论:如果+,Rab?,那么222abab??(当且仅当ab?时取等“=”) 特别的,如果0a?,0b?, 我们用a 、b分别代替a、b,可得: 如果0a?,0b?, 则2abab??,(当且仅当ab?时取等“=”). 通常我们把上式写作:如果0a?,0b? ,2abab??,(当且仅当ab?时取等“=”) 方法二:代数法 ∵2222()0ababab?????, 当ab?时,2()0ab??; 当ab?时,2()0ab??. 所以22()2abab??,(当且仅当ab?时取等“=”). 要点诠释: 特别的,如果0a?,0b?, 我们用a 、b分别代替a、b,可得: 如果0a?,0b?, 则2abab??,(当且仅当ab?时取等“=”). 通常我们把上式写作: 如果0a?,0b? ,2abab??,(当且仅当ab?时取等“=”). 要点三、基本不等式2abab??的几何意义 如图,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,ACa?,BCb?,过点C作DCAB?交圆于点D,连接AD、BD . 易证~RtACDRtDCB??,那么2CDCACB?? ,即CDab?. 这个圆的半径为2ba?,它大于或等于CD ,即abba??2,其中当且仅当点C与圆心重合,即ab?时,等成立. 要点诠释: 1. 在数学中,我们称2ba?为,ab 的算术平均数,称ab为,ab的几何平均数. 因此基本不等式可叙 述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2. 如果把2ba?看作是正数,ab 的等差中项,ab看作是正数,ab的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点四、用基本不等式2abab??求最大(小)值 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等. ① 一正:函数的解析式中,各项均为正数; ② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值. 要点诠释: 1.两个不等式:222abab?? 与2abab??成立的条件是不同的,前者要求a,b都是实数,后者要求a,b都是正数.如22(3)(2)2(3)(2)????????是成立的, 而(3)(2)2(3)(2)2???????是不成立的. 2.两个不等式:222abab?? 与2abab??都是带有等的不等式,对于“当且仅当……时,取“=”这句话的含义要有正确的理解. 当a=b 取等,其含义是2ababab????; 仅当a=b 取等,其含义是2ababab????. 综合上述两条,a=b 是2abab??的充要条件. 3.基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考虑使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值,则“积”有最大值. 4.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件: ①各项都是正数; ②和(或积)为定值; ③各项能取得相等的值. 5.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,在应用时一般按以下步骤进行: ①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; ②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; ③在定义域内,求出函数的最大或最小值; ④写出正确答案. 【典型例题】 类型一:对公式222abab?? 及2abab??的理解 例1.下列结论正确的是( ) A.当x)0且x≠1 时,1lg2lgxx?? B.当x)0 时,12xx?? C.当x≥2时,1xx?的最小值为2 D.当0(x≤2 时,1xx?无最大值 【思路点拨】 利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可。 【答案】 B 【解析】 A中,当x)0且x≠1时,lg x的正负不确定, ∴1lg2lgxx?? 或1lg2lgxx???; C中,当x≥2时,min152xx????????; D中,当0(x≤2时,1yxx??在(0,2] 上递增,max132xx????????.故选B. 【总结升华】 在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条件:一“正”二“定”三“取等”,缺一不可. 举一反三: 【变式1】0a?,0b?,给出下列推导,其中正确的有 (填序). (1 )1abab?? 的最小值为22; (2 )11()()abab??的最小值为4; (3 )14aa??的最小值为2?. 【答案】(1);(2) (1)∵0a?,0b? ,∴11222abababab????? (当且仅当22ab??时取等). (2)∵0a?,0b? ,∴112()()24abababab?????(当且仅当ab?时取等). (3)∵0a? ,∴111442(4)42444aaaaaa??????????????, (当且仅当144aa???即413aa????,时取等) ∵0a?,与3a?? 矛盾,∴上式不能取等,即124aa???? 【变式2】给出下面四个推导过程: ① ∵,abR?? ,∴22ababbaba????; ② ∵,xyR?? ,∴lglg2lglgxyxy???; ③ ∵aR?,0a?,∴ 4424aaaa????; ④ ∵,xyR?,0xy? ,∴[()()]2()()2xyxy

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