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无锡市第一中学2020-2021学年高二圆锥曲线单元测试答案.docx

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PAGE3 无锡市第一中学高二数学测试 2020.11.18 1-6.DCDBAC 7.AC 8.BC 9.4 10.2 11.相离 12. 6.光线从椭圆一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点出,经两次反射后又回到了点,历时秒,若,则与的离心率之比为( ) A. B. C. D. 【解答】解:设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为, 在左图中,由椭圆定义可得:①, 由双曲线定义可得:②, ①②得:, 的周长为:; 在右图中,光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点, 即直线过,的周长为, 又两次时间分别为,,且, ,则. 椭圆与双曲线焦点相同,, . 二、多项选择题. 7.已知椭圆的左、右焦点分别为、,直线与椭圆相交于点、,则( ) A.当时,的面积为 B.不存在使为直角三角形 C.存在使四边形面积最大 D.存在,使的周长最大 【解答】解:如图所示:, 选项:当时,,,的面积为,故选项正确; 选项:当时,可以得出,当时,,根据椭圆的对称性,存在使为直角三角形,故选项错误; 选项:根据椭圆的对称性可知,当时,四边形面积最大,故选项正确; 选项:由椭圆的定义得,的周长, ,,当过点时取等号, , 即直线过椭圆的右焦点时,的周长最大, 此时直线的方程为,但是,所以不存在,使的周长最大,故选项错误;故选:. 12.椭圆的两焦点为F1(-c,0),F2(c,0),直线与x轴交于点P,Q为直线上一点.若∠F1QP的角平分线恰好过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是   . 【解答】解:如图所示,设,. 的角平分线刚好过点, , 则, , 可得:, 解得. 故答案为:. 13.已知抛物线,点,过点的直线l与抛物线交于,两个不同的点(均与点不重合). (1)记直线,的斜率分别为,,证明:; (2)若,且,在轴的两侧,求△MAB的面积. 【解答】(1)证明:设直线l的方程为,,,,, 联立,得. 则,.(2分) . 将,代入上式, 可得;(6分) (2)解:,,,,. 则,. ,且,在轴的两侧, , 结合,,不妨设在轴下方, 解得,,,,(10分) 即,, 则,. 直线l的方程为, 即, 则点到直线l的距离,(12分) 故的面积为.(14分) 14.已知椭圆C:的离心率为,短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)求椭圆C的标准方程l:y=kx+m(m≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点(1,0),求实数k的取值范围. 【解答】解:(1)由题意可知:,得, 故椭圆的标准方程为(4分) (2)设,,,,将代入椭圆方程, 消去得, 所以△,即① 由根与系数关系得,则,(6分) 所以线段的中点的坐标为.(8分) 又线段的垂直平分线的方程为, 由点在直线上,得, 即,所以②(10分) 由①②得,, 所以,即或, 所以实数的取值范围是.(14分)

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